Problema
Considera l’ellisse di equazione $\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{18}=1$, descrivine le caratteristiche principali analizzando l’equazione. Determina poi le coordinate del centro, dei fuochi e dei vertici.
Svolgimento
L’equazione fornita è già in forma normale, cioè scritta come:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
siccome questa equazione rappresenta una ellisse centrata nell’origine possiamo già capire che il centro dell’ellisse ha coordinate:
$C=(0,0)$
Osserviamo ora l’equazione fornita dall’esercizio e quella generale, per confronto possiamo concludere che:
$a^2=36$
$b^2=18$
Per trovare i coefficienti $a$ e $b$ ricordiamo che devono essere maggiori di zero, quindi estraendo la radice otteniamo $a=6$ e $b=3\sqrt{2}$.
Siccome $a>b$ possiamo comprendere che l’ellisse è orizzontale (cioè ha i fuochi lungo l’asse $x$) e che $a$ è il semiasse maggiore, mentre $b$ è il semiasse minore.
Possiamo ora calcolare il coefficiente $c$, che è la semidistanza focale, e l’eccentricità $e$ con le seguenti formule (valide solo per ellissi orizzontali):
$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-18}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3\sqrt{2}}{6}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
A questo punto abbiamo tutto quello che serve per trovare le coordinate dei fuochi e dei vertici, usiamo le formule per l’ellisse orizzontale viste nella lezione:
Fuochi
$F_1=(-c,0)=(-3\sqrt{2},0)$
$F_2=(c,0)=(3\sqrt{2},0)$
Vertici
$V_1=(6,0)$
$V_2=(0,3\sqrt{2})$
$V_3=(-6,0)$
$V_4=(0,-3\sqrt{2})$
Per concludere disegniamo l’ellisse e i punti trovati nel piano cartesiano. Il metodo migliore è quello di fissare i quattro vertici e collegarli con una linea curva. Il risultato è il seguente:
