L’ellisse è un particolare tipo di curva piana chiusa che si incontra nello studio della geometria analitica, essendo generata dall’intersezione tra un cono e un piano rientra tra le cosiddette coniche.
In questa lezione presentiamo l’argomento dando la definizione generale di ellisse e descriveremo poi le caratteristiche principali collegandole all’equazione dell’ellisse. Essendo l’argomento vasto, in questa lezione accenneremo solo brevemente ad alcuni argomenti quali la posizione di una retta rispetto ad una ellisse, come determinare l’equazione di un’ellisse e l’ellisse traslata. Questi argomenti potranno essere approfonditi nelle lezioni dedicate.
L’indice di questa lezione è il seguente:
- Definizione di ellisse
- Equazione dell’ellisse centrata nell’origine e formule
- Posizione di una retta rispetto ad una ellisse
- Come determinare l’equazione di un’ellisse
- Ellisse traslata
Per quanto riguarda gli esercizi, è disponibile una raccolta di esercizi svolti sull’ellisse.
DEFINIZIONE DI ELLISSE
Diamo subito la definizione di ellisse e vediamo poi quali sono gli elementi caratteristici.
Dati due punti $F_1$ e $F_2$, detti fuochi, l’ellisse è la curva piana chiusa formata dai punti $P$ tali che la somma delle distanze tra $P$ e i fuochi è costante.
La definizione può essere “tradotta” in una formula. Infatti possiamo dire che un’ellisse è formata da tutti i punti tali che
$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\mbox{costante} $
dove $\overline{PF_1}$ e $\overline{PF_2}$ sono rispettivamente la distanza tra il punto $P$ e il fuoco $F_1$ e la distanza tra il punto $P$ e il fuoco $F_2$. Quindi per qualsiasi punto $P$ lungo l’ellisse la somma di queste due distanza deve essere costante!
EQUAZIONE DELL’ELLISSE CENTRATA NELL’ORIGINE E FORMULE
Per studiare le caratteristiche di un’ellisse è possibile rappresentarla in un piano cartesiano. Per comodità scegliamo di posizionare il centro dell’ellisse, cioè il punto medio del segmento $\overline{F_1F_2}$, proprio nell’origine del piano cartesiano.
Facciamo presente che una ellisse può essere inclinata in qualsiasi modo, nel nostro caso ci limiteremo ai due casi con i fuochi lungo una retta orizzontale e lungo una retta verticale.
Che sia orizzontale o verticale, l’equazione canonica di una ellisse centrata nell’origine è sempre:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
ma può anche essere scritta in forma non canonica come $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$.
Analizziamo velocemente le caratteristiche principali di un’ellisse che ci saranno utili nello svolgimento degli esercizi.
I coefficienti $a$ e $b$ presenti nell’equazione possiamo ritrovarli anche nelle figure, essi rappresentano rispettivamente il semiasse orizzontale e il semiasse verticale, e indicano la distanza tra il centro $O$ dell’ellisse e i vertici $V_1,V_2,V_3,V_4$. Come possiamo vedere dalla figura, i vertici di un’ellisse centrata nell’origine sono anche i punti di intersezione tra l’ellisse e gli assi cartesiani. Notiamo inoltre che gli assi cartesiani sono anche degli assi di simmetria, quindi l’ellisse centrata nell’origine è una figura simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Confrontando i coefficienti $a$ e $b$ possiamo capire direttamente dall’equazione dell’ellisse se si tratta di un ellisse orizzontale $(a>b)$ o verticale $(b>a)$. Da questo confronto possiamo capire anche qual è l’asse maggiore o l’asse minore dell’ellisse:
- se $a>b$ allora $2a$ è l’asse maggiore e $2b$ è l’asse minore (ellisse orizzontale)
- se $b>a$ allora $2b$ è l’asse maggiore e $2a$ è l’asse minore (ellisse verticale)
Un altro elemento importante è il coefficiente $c$ che è legato alla distanza dei fuochi dal centro dell’ellisse e viene chiamato anche semidistanza focale. Tuttavia questo coefficiente non compare esplicitamente nell’equazione dell’ellisse ma è legato ad $a$ e $b$ dalle seguenti formule:
- $a^2-c^2=b^2$ e quindi $c=\sqrt{a^2-b^2}$ nel caso di ellisse orizzontale
- $b^2-c^2=a^2$ e quindi $c=\sqrt{b^2-a^2}$ nel caso di ellisse verticale
Infine è possibile definire l’eccentricità $e$ di un’ellisse, questo coefficiente descrive la forma dell’ellisse. La formula per calcolare l’eccentricità è:
$e=\dfrac{\mbox{semidistanza focale}}{\mbox{semiasse maggiore}}$
La formula per l’eccentricità dipende quindi da qual è il semiasse maggiore dell’ellisse, distinguiamo cioè due casi:
- $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ nel caso di un’ellisse orizzontale
- $e=\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}$ nel caso di un’ellisse verticale
Facciamo presente che l’eccentricità non può essere un numero qualsiasi ma $0\le e <1$. Se $e=0$ l’ellisse è una circonferenza, man mano che il valore di $e$ si avvicina ad $1$ l’ellisse diventa sempre più schiacciata.
Riassumiamo qui le formule utile nel caso di un’ellisse orizzontale o verticale centrata nell’origine:
EQUAZIONE
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
ellisse orizzontale
- $a>b$
- $c^2=a^2-b^2$
- $c=\sqrt{a^2-b^2}$
- Asse maggiore $2a$
- Fuochi
$F_1=(-c,0)=(-\sqrt{a^2-b^2},0)$
$F_2=(c,0)=(\sqrt{a^2-b^2},0)$
- Vertici
$V_1=(a,0)$
$V_2=(0,b)$
$V_3=(-a,0)$
$V_4=(0,-b)$
- Eccentricità
$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$
ellisse verticale
- $b>a$
- $c^2=b^2-a^2$
- $c=\sqrt{b^2-a^2}$
- Asse maggiore $2b$
- Fuochi
$F_1=(0,-c)=(0,-\sqrt{b^2-a^2})$
$F_2=(0,c)=(0,\sqrt{b^2-a^2})$
- Vertici
$V_1=(a,0)$
$V_2=(0,b)$
$V_3=(-a,0)$
$V_4=(0,-b)$
- Eccentricità
$e=\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}$
POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO AD UNA ELLISSE
Per approfondire questo argomento c’è una lezione dedicata alla posizione di una retta rispetto ad una ellisse, qui diamo solo una breve introduzione.
Se consideriamo una retta ed una ellisse nel stesso piano, possiamo distinguere 3 diversi casi:
- la retta è esterna all’ellisse: non ci sono punti di intersezione
- la retta è tangente all’ellisse: c’è un solo punto di intersezione
- la retta è secante all’ellisse: ci sono due punti di intersezione
Dal punto di vista algebrico, per scoprire se una retta è esterna, tangente o secante ad una ellisse è necessario risolvere un sistema tra l’equazione dell’ellisse e l’equazione della retta:
\[\begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \\ y=mx+q \end{cases}\]
risolvendo questo sistema troveremo un’equazione di secondo grado dalla quale possiamo ottenere che:
- se $\Delta<0$ non ci sono punti di intersezione e quindi la retta è esterna all’ellisse
- se $\Delta=0$ c’è un solo punto di intersezione e quindi la retta è tangente all’ellisse
- se $\Delta>0$ ci sono due punti di intersezione e quindi la retta è secante all’ellisse
COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UN’ELLISSE
In molti problemi vieni richiesto di trovare l’equazione di una ellisse utilizzando delle informazioni fornite. Determinare l’equazione dell’ellisse significa trovare il valore dei coefficienti $a$ e $b$, sono quindi necessarie due condizioni ad esempio un vertice e l’eccentricità, o due punti appartenenti all’ellisse, o…
Le possibili condizioni sono molte e dipendono da problema a problema, non c’è quindi un metodo unico per lo svolgimento di questi esercizi. Il consiglio è quello di allenarsi dando un’occhiata all’archivio degli esercizi svolti sulla determinazione dell’equazione di un’ellisse.
ELLISSE TRASLATA
Durante questa lezione per semplicità abbiamo considerato l’ellisse sempre centrata nell’origine degli assi cartesiani, ma possiamo ben immaginare che può essere centrata in qualsiasi punto del piano cartesiano.
Una ellisse non centrata nell’origine si ottiene effettuando una traslazione, secondo un certo vettore $\vec{v}(x_C,y_C)$, di tutti i punti dell’ellisse centrata nell’origine.
Il risultato sarà sempre un’ellisse che avrà come nuovo centro il punto $C(x_C,y_C)$ e la sua equazione diventerà:
$\dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$
Per approfondire questo argomento è disponibile una lezione dedicata sull’ellisse traslata.
Esercizi svolti su questa lezione? Ecco QUI