Problema
In una gelateria sono esposti $14$ gusti di gelato differenti: $9$ alla frutta e $5$ alle creme. Se voglio comporre un gelato, senza ripetere i gusti, con $3$ gusti alla frutta e $2$ alle creme, quanti sono i possibili gelati?
Svolgimento
Per risolvere questo esercizio immaginiamo di creare il gelato mettendo prima i gusti alla frutta e poi quelli alle creme e andiamo poi a considerare un gruppo alla volta.
Partendo dai gusti alla frutta abbiamo a disposizione $3$ palline e la scelta è tra $9$ possibili gusti. I tre gusti che sceglieremo dovranno essere tutti diversi tra loro, quindi un gusto non può ripetersi più volte. Inoltre l’ordine con cui li scegliamo possiamo immaginare non sia importante.
Per quanto detto fino ad ora, i tre gusti alla frutta da scegliere formano delle combinazioni semplici di $n=9$ elementi di classe $k=3$, quindi possiamo calcolare in quanti modi possono essere scelti con la formula:
\[C_{n,k}={n \choose k}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\]
che quindi ci fornisce il seguente risultato:
\[C_{9,3}={9 \choose 3}=\dfrac{9!}{3!\cdot (9-3)!}=\dfrac{9!}{3!\cdot 6!}=84\]
Quindi le tre palline alla frutta possono essere scelte in $84$ combinazioni diverse.
Passiamo ora alle palline gusto crema, abbiamo $2$ gusti da scegliere tra i $5$ possibili gusti. Anche in questo caso l’ordine dei gusti non è importante e sappiamo che un gusto non può essere preso più volte.
Allora i modi in cui possiamo scegliere i gusti sono delle combinazioni semplici di $n=5$ elementi di classe $k=2$, quindi per calcolare quanti modi diversi ci sono possiamo usare la formula usata prima e otteniamo che:
\[C_{5,2}={5 \choose 2}=\dfrac{5!}{2!\cdot (5-2)!}=\dfrac{5!}{2!\cdot 3!}=10\]
Abbiamo quindi $10$ combinazioni diverse per i due gusti alle creme.
Ora dobbiamo mettere insieme i due risultati ottenuti finora.
Per calcolare quanti sono i gelati completi che possiamo creare in questo modo, si può ad esempio immaginare che ad $1$ combinazione di gusti alla frutta si possono abbinare $10$ combinazioni di gusti alle creme.
Ma siccome ci sono $84$ combinazioni di gusti alla frutta allora facendo $84\cdot 10$ otteniamo quanti gelati completi è possibile creare, cioè $840$.