Problema
Una palla di massa $1,5\hspace{0.1cm}kg$ in caduta urta il suolo ad una velocità di $3\hspace{0.1cm}\dfrac{m}{s}$ e rimbalza verso l’alto con un velocità di $2\hspace{0.1cm}\dfrac{m}{s}$. Calcola la variazione della sua quantità di moto e descrivine il verso e la direzione.
Svolgimento
Il problema che vogliamo risolvere tratta di un oggetto che cade e rimbalza, il tutto avviene quindi lungo una direzione perpendicolare al suolo. Detto ciò possiamo intuire che il problema è unidimensionale cioè il moto avviene lungo la direzione dell’asse $y$ del piano cartesiano.
Analizziamo ora la situazione iniziale, cioè la palla di massa $m=1,5\hspace{0.1cm}kg$ in caduta con velocità iniziale $v_i=3\hspace{0.1cm}\dfrac{m}{s}$. Con la massa e il modulo della velocità iniziale possiamo calcolare il modulo della quantità di moto iniziale $p_i\hspace{0.1cm}$:
$p_i=mv_i=(1,5\hspace{0.1cm}kg) \cdot (3\hspace{0.1cm}\dfrac{m}{s})=4,5\hspace{0.1cm}\dfrac{kg\cdot m}{s}$
il verso e la direzione del vettore $\vec{p_i}$ sono identici a quelli del vettore $\vec{v_i}$, entrambi verticali e che puntano al suolo.
Rappresentiamo graficamente la situazione iniziale prima del rimbalzo:
Concentriamoci ora su cosa accade dopo che la palla ha rimbalzato. Dopo il rimbalzo la palla si muove verso l’alto con una velocità finale $v_f=2\hspace{0.1cm}\dfrac{m}{s}$, la sua massa rimane ovviamente invariata. Possiamo quindi calcolare il modulo della quantità di moto finale $p_f\hspace{0.1cm}$:
$p_f=mv_f=(1,5\hspace{0.1cm}kg) \cdot (2\hspace{0.1cm}\dfrac{m}{s})=3\hspace{0.1cm}\dfrac{kg\cdot m}{s}$
il verso e la direzione del vettore $\vec{p_f}$ sono identici a quelli del vettore $\vec{v_f}$, la direzione è sempre perpendicolare al suolo e il verso punta in alto.
Rappresentiamo graficamente la situazione finale, cioè dopo il rimbalzo:
Ora abbiamo tutti i dati necessari per rispondere alla domanda del problema. Ci siamo calcolati il modulo della quantità di moto prima del rimbalzo $p_i$ e il modulo della quantità di moto dopo il rimbalzo $p_f$.
Possiamo calcolare il modulo della variazione della quantità di moto $\Delta p$ come la differenza tra il valore finale $p_f$ e quello iniziale $p_i$, cioè:
$\Delta p =p_f-p_i=(3\hspace{0.1cm}\dfrac{kg\cdot m}{s})-(-4,5\hspace{0.1cm}\dfrac{kg\cdot m}{s})=7,5\hspace{0.1cm}\dfrac{kg\cdot m}{s}$
perché il valore di $p_i$ ha un segno negativo? Dobbiamo ricordarci che stiamo facendo operazioni con moduli di vettori, quel segno “meno” è dovuto al fatto che il vettore $\vec{p_i}$ è diretto verso il basso mentre il nostro asse $y$ di riferimento è diretto verso l’alto.
Un altro modo più “pratico” di spiegarlo è che la sottrazione di due vettori opposti tra loro da come risultato un vettore che ha come modulo la somma dei due vettori di partenza.
Per chiarire meglio proviamo a trovare graficamente il vettore $\Delta \vec{p}\hspace{0.1cm}$ mediante il metodo punta-coda:
Vediamo quindi che il vettore $\Delta\vec{p}$ è sempre verticale e diretto verso l’alto, il suo modulo è pari alla somma dei moduli di $\vec{p_f}$ e $\vec{p_i}$.
La variazione della quantità di moto $\Delta\vec{p}$ è causata da una forza esercitata dal pavimento che agisce al momento del contatto con il suolo.