Problemi
Risolvere la disequazione:
$\dfrac{\mbox{arccot}(x-4)}{x+5}>0$
Svolgimento
La disequazione da risolvere è fratta e contiene la funzione goniometrica inversa arcocotangente.
In questo caso non ci sono particolari condizioni di esistenza da considerare, l’arcocotangente è definito per ogni valore di $x$. L’unica condizione è che il denominatore sia diverso da zero, cioè $x \ne -5$. Tuttavia questa condizione viene inclusa in quanto studieremo il denominatore come $>$ strettamente maggiore di zero.
Passiamo quindi allo studio separato di numeratore e denominatore.
Partiamo dal numeratore risolvendo:
$\mbox{arccot}(x-4)>0$
per risolverla andiamo ad analizzare il grafico dell’arcocotangente e notiamo che è sempre positiva, questo implica che la disequazione sia soddisfatta $\forall x \in \mathbb{R}$.
Il denominatore invece ci fornisce:
$x+5>0$
che ha come risultato $x>-5$.
Per completare lo svolgimento andiamo a compilare la tabella dei segni:
Essendo che la disequazione di partenza $\dfrac{\mbox{arccot}(x-4)}{x+5}>0$ ha il segno $>$ prendiamo l’intervallo con segno $+$.
Quindi la soluzione della disequazione è:
$x>-5$
ovviamente il punto $x=-5$ è escluso senza dover fare nulla, rispettando così le condizioni di esistenza.