Problema
Risolvere la disequazione:
$\arccos x \le \dfrac{\pi}{6}$
Svolgimento
La disequazione da risolvere contiene la funzione goniometrica arcocoseno.
Determiniamo come prima cosa le condizioni di esistenza (C.E.), infatti sappiamo che la funzione arcocoseno è definita solo per valori dell’argomento appartenenti all’intervallo $[-1,1]$.
Pertanto nel nostro caso abbiamo che le C.E. sono:
$-1 \le x \le 1$
Sapendo che la funzione coseno e la funzione arcocoseno sono, nell’intervallo di esistenza, una l’inversa dell’altra andiamo a prendere il coseno di entrambi i membri delle disequazione. Attenzione perché, diversamente per quanto accade con la funzione seno, nel fare questo passaggio il simbolo della disequazione cambia verso. Questo perché abbiamo applicato la funzione coseno che è decrescente (per i valori che fornisce l’arcocoseno). Quindi otteniamo che:
$\cos (\arccos x) \ge \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$
Dal membro di sinistra otteniamo semplicemente l’argomento $x$, mentre dal membro di destra $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt 3}{2}$.
Quindi la disequazione diventa:
$x \ge \dfrac{\sqrt 3}{2}$
che non è la soluzione finale, infatti bisogna ancora considerare le condizioni di esistenza.
Tramite una tabella andiamo ad intersecare le C.E. con la soluzione trovata:
La soluzione finale della disequazione è quindi:
$\dfrac{\sqrt 3}{2} \le x \le 1$