Problema
Risolvere la disequazione letterale intera di primo grado:
$(x-k)k+x+k^2\ge k(k+1)$
Svolgimento
In questa disequazione letterale intera il parametro da discutere è $k$. Dobbiamo scrivere la disequazione nella forma $A\cdot x \ge B $, ma la prima cosa da fare è svolgere le moltiplicazioni per eliminare le parentesi tonde a sinistra. La disequazione diventa
$kx-k^2+x+k^2\ge k(k+1)$
e semplificando i $k^2$ otteniamo
$kx+x\ge k(k+1)$
A questo punto possiamo raccogliere una $x$ a sinistra
$(k+1)x \ge k(k+1)$
la disequazione ora è nella forma $A\cdot x\ge B$ con $A=(k+1)$ e $B=k(k+1)$.
Per trovare la soluzione della disequazione dobbiamo dividere entrambi i membri per $k+1$, ma come la solito non possiamo farlo a cuor leggero perché, non conoscendo il valore di $k$, non sappiamo se stiamo dividendo per un termine positivo, negativo o nullo. Per questo è necessario distinguere tre casi:
- se $k+1>0$ (cioè se $k>-1$) possiamo dividere entrambi i membri per $k+1$ che sarà una quantità positiva, otteniamo quindi:
$\dfrac{1}{k+1}\cdot (k+1)x \ge k(k+1)\cdot \dfrac{1}{k+1}$
$x\ge k$
- se $k+1<0$ (cioè $k<-1$) possiamo dividere entrambi i membri per $k+1$, ma essendo questa volta una quantità negativa dobbiamo cambiare il verso della disequazione ottenendo:
$\dfrac{1}{k+1}\cdot (k+1)x \le k(k+1)\cdot \dfrac{1}{k+1}$
$x\le k$
- infine se $k=-1$, sostituendo tale valore nella disequazione al posto del parametro otteniamo
$(-1+1)\cdot x \ge -1(-1+1)$
$0\cdot x \ge 0$
che è indeterminata, perché la disuguaglianza è verificata per qualsiasi valore dell’incognita $x$.
Riassumiamo le soluzioni trovate:
- se $k>-1$ allora $x\ge k$
- se $k<-1$ allora $x \le k$
- se $k=-1$ allora è indeterminata