In questa lezione vedremo come risolvere le equazioni differenziali del primo ordine lineari.
Il termine “lineare” non sappiamo ancora cosa significa, vediamo quindi la sua definizione:
Un’equazione differenziale del primo ordine si dice lineare se può essere scritta nella forma: $y’+a(x)y=b(x)$
dove $a(x)$ e $b(x)$ sono delle funzioni della variabile $x$.
Quello che faremo sarà quindi capire come risolvere equazioni del tipo:
$y’+a(x)y=b(x)$
METODO DI RISOLUZIONE PER EDO LINEARI DEL PRIMO ORDINE
Il metodo di risoluzione di questa tipologia di EDO può essere ricavato più o meno facilmente, la sua “dimostrazione teorica” non ci è particolarmente utile per la risoluzione degli esercizi quindi la ometteremo. Riportiamo quindi i passaggi chiave e le formule necessarie per la risoluzione di un’equazione differenziale.
Immaginiamo di avere un’equazione differenziale del primo ordine lineare scritta nella forma $y’+a(x)y=b(x)$ e di volerla risolvere.
L’integrale generale si trova utilizzando la formula:
\[ y= e^{-\int a(x)\,dx}\left[\int b(x)e^{\int a(x)\,dx}\,dx+c \right] \]
Spesso si parla anche di equazione differenziale omogenea associata, questo è un caso particolare nel quale $b(x)=0$. L’equazione diventa quindi $y’+a(x)y=0$ che è a variabili separabili. In questo caso la formula di risoluzione diventa:
\[ y= ce^{-\int a(x)\,dx}\]
dove $c \in \mathbb{R}$ è la costante da determinare se si vogliono trovare soluzioni particolari.
Vediamo di applicare quanto visto ad un esempio.
esempio
Risolviamo la seguente equazione differenziale:
\[ y’+3x^2y=x^2\]
Come prima cosa vediamo che l’equazione è già scritta nella forma $y’+a(x)y=b(x)$, in particolare $a(x)=3x^2$ e $b(x)=x^2$.
Per risolverla e trovare l’integrale generale possiamo applicare la formula appena vista:
\[ y= e^{-\int a(x)\,dx}\left[\int b(x)e^{\int a(x)\,dx}\,dx+c \right] \]
quindi sostituendo $a(x)=3x^2$ e $b(x)=x^2$ otteniamo che:
\[ y= e^{-\int 3x^2\,dx}\left[\int x^2e^{\int 3x^2\,dx}\,dx+c \right] \]
Per procedere bisogna concentrarsi sui seguenti termini e risolvere l’integrale ad esponente
\[ e^{-\int 3x^2\,dx}= e^{-x^3} \]
\[ e^{\int 3x^2\,dx}=e^{x^3} \]
per semplificare lo svolgimento possiamo evitare di considerare le costanti che uscirebbero dagli integrali, andremo poi a considerare $c$ nella formula generale.
Quindi sostituendo quanto trovato nella formula principale si ottiene:
\[ y= e^{-x^3}\left[\int x^2e^{x^3}\,dx+c \right] \]
Dobbiamo ora risolvere l’integrale
\[\int x^2e^{x^3}\,dx \]
utilizzando il metodo di sostituzione poniamo $t=x^3$ e $dx=\dfrac{1}{3x^2}dt$ otteniamo:
\[\int \dfrac{1}{3}e^{t}\,dt=\dfrac{e^t}{3}= \dfrac{e^{x^3}}{3}\]
Ritorniamo alla formula generale, andando a sostituire il risultato dell’integrale, ottenendo:
\[ y= e^{-x^3}\left[\dfrac{e^{x^3}}{3}+c \right] \]
L’integrale generale è quindi:
\[y=\dfrac{1}{3} + \dfrac{c}{e^{x^3}}\]
Come al solito, determinare $c$ significa determinare una soluzione particolare.