Vediamo il metodo per risolvere un’equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili del tipo $y’=g(x)\cdot h(y)$.
METODO DI RISOLUZIONE PER EDO A VARIABILI SEPARABILI
Ci chiediamo come risolvere un’equazione differenziale del primo ordine del tipo $y’=f(x,y)$, dove $f(x,y)$ è una funzione che dipende sia da $x$ che da $y$, nel caso dipendesse solo da $x$ si ritorna al caso già trattato in questa lezione.
Se la nostra $f(x,y)$ si può scrivere come moltiplicazione di due funzioni $g(x)$ e $h(y)$ ciascuna contenente una sola variabile allora l’equazione differenziale diventa:
$y’=g(x)\cdot h(y)$
che può essere risolta con il metodo che ora andiamo a vedere.
Partendo dall’equazione scritta nella forma $y’=g(x)\cdot h(y)$ si procede nel seguente modo:
1) Si sostituisce alla notazione di derivata $y’$ la notazione con i differenziali $\dfrac{dy}{dx}$, l’equazione differenziale diventa quindi:
$\dfrac{dy}{dx}=g(x)\cdot h(y)$
2) Considerando $h(y)\ne 0$ lo si può portare a sinistra come denominatore mentre il $dx$ si può portare a destra ottenendo:
$\dfrac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx$
3) Ora che i termini in $y$ sono a sinistra e i termini in $x$ a destra è possibile fare l’integrale indefinito di entrambi i membri.
\[\int \dfrac{1}{h(y)}\, dy= \int g(x)\,dx \]
Da ciò sarà possibile ricavare l’integrale generale, cioè le $y$ in funzione di $x$.
4) Bisogna infine controllare a parte il caso in cui $h(y)=0$. In generale se una certa $y$ risolve l’equazione $h(y)=0$ allora quella $y$ sarà una soluzione costante dell’equazione differenziale.
Vediamo di capire il procedimento con un esempio svolto.
esempio
Risolviamo l’equazione differenziale:
$y’=\dfrac{y^2}{1+x^2}$
Notiamo subito che il membro di destra può essere scritto come prodotto di due funzioni con variabili separate cioè:
$y’=y^2\cdot \dfrac{1}{1+x^2}$
Quindi in questo caso $g(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ mentre $h(y)=y^2$.
Applichiamo quindi il procedimento appena visto andando a scrivere $y’$ come $\dfrac{dy}{dx}$
$\dfrac{dy}{dx}=y^2\cdot \dfrac{1}{1+x^2}$
da cui ponendo $y^2\ne 0$ otteniamo:
$\dfrac{dy}{y^2}=\dfrac{dx}{1+x^2}$
Integriamo quindi ambo i membri:
\[\int \dfrac{dy}{y^2}= \int \dfrac{dx}{1+x^2} \]
Calcolando gli integrali si ottiene:
$-\dfrac{1}{y}+k=arctg(x)+h$
Andiamo quindi ad isolare $y$ e possiamo anche unire le due costanti di integrazione:
$y=\dfrac{1}{k-h-arctg(x)}=\dfrac{1}{c-arctg(x)}$
Consideriamo ora il caso, escluso in precedenza, in cui $h(y)=0$ cioè $y^2=0$.
L’equazione $y^2=0$ ha come soluzione $y=0$. Allora poniamo $y=0$ nell’equazione differenziale di partenza e otteniamo $y’=0$, quindi possiamo concludere che anche $y=0$ è una soluzione dell’equazione differenziale.
L’integrale generale è quindi:
$y=\dfrac{1}{c-arctg(x)} \vee y=0$