Problema
Sara vuole mangiare un super gelato con cinque palline e i gusti a disposizione sono solo $3$. Quanti modi diversi ci sono di creare il gelato?
Svolgimento
Consideriamo una lista di $5$ oggetti che rappresenta il gelato di Sara, ogni elemento della lista è una pallina di gelato. Avendo solo $3$ gusti a disposizione non abbiamo scelta se non ripetere più volte uno stesso gusto. Ad esempio possiamo ottenere:
$(gusto_1,gusto_3,gusto_3,gusto_1,gusto_2)$
Essendo che la posizione dei gusti non è rilevante possiamo considerare un gelato come una combinazione con ripetizione di $k$ elementi (le palline) presi da $n$ elementi (i gusti). Quindi possiamo applicare la formula:
$C’_{n,k}=\dfrac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}$
In particolare se abbiamo che $k=5$ ed $n=3$ la formula diventa:
$C’_{3,5}=\dfrac{(3+5-1)!}{5!\cdot (3-1)!}=\dfrac{7!}{5!\cdot 2!}=\dfrac{5040}{240}=21$
Sara può quindi creare $21$ gelati che differiscono per la composizione dei gusti.