La definizione di potenza di un monomio in algebra è analoga a quella vista in aritmetica. La potenza è un modo compatto di scrivere il prodotto di fattori uguali tra loro (la base) tante volte quante indicate dall’esponente.
Un esempio di potenza di monomio è la seguente:
$(3x^2y)^3=(3x^2y)\cdot (3x^2y)\cdot (3x^2y)$
ma ricordando che i monomi sono formati da moltiplicazioni tra fattori è possibile elevare ogni fattore all’esponente indicato, cioè:
$(3x^2y)^3=(3)^3\cdot (x^2)^3\cdot (y)^3$
in questo modo è facile vedere che è applicabile la proprietà della potenza di una potenza, moltiplicando gli esponenti di ogni fattore:
$(3x^2y)^3=3^3\cdot x^{2\cdot 3}\cdot y^{1\cdot 3}=27x^6y^3$
Come calcolare la potenza di un monomio
Descriviamo gli step del procedimento, la potenza di un monomio ha:
- coefficiente numerico ottenuto elevando il coefficiente del monomio all’esponente alla quale è elevato il monomio
- parte letterale ottenuta moltiplicando l’esponente che ogni lettera aveva nel monomio con l’esponente al quale viene elevato il monomio
Per una questione d’ordine il consiglio è quello di partire calcolando prima il segno, poi il coefficiente e infine la parte letterale.
Potenza di monomi con parentesi
Va fatto particolare attenzione nel calcolo delle potenze di monomi, soprattutto quando sono presenti delle parentesi.
Prendiamo come esempio la potenza:
$(3x^2-7x^2)^2$
in questo caso bisogna prima calcolare la somma algebrica dentro le parentesi tonde essendo i monomi simili e poi la potenza:
$(-4x^3)^2=(-4)^2x^{3\cdot 2}=+16x^6$
Diverso il caso in cui i due monomi interni alle parentesi non siano simili, ad esempio:
$(-x^2+4x^3)^2$
andremo avanti con questo esempio solo per mostrare come NON va svolto!
Non è possibile sommare i due monomi perché non simili, all’interno delle parentesi c’è quindi un polinomio e non un monomio. Molti potrebbero pensare che sia sufficiente distribuire l’esponente su entrambi i monomi scrivendo:
$(-x^2)^2+(4x^3)^2$
questo è uno dei classici errori che ogni studente ha fatto almeno una volta nella vita. Questo procedimento è errato, vedremo lo svolgimento corretto studiando i polinomi.
Esercizi svolti sulla potenza di un monomio? Ecco QUI