Problema
Scomponi il polinomio:
$x^{3n}+10x^{2n}+16x^n$
Svolgimento
Prima di iniziare lo svolgimento vero e proprio ricordiamo che grazie alle proprietà delle potenze valgono queste uguaglianze:
$x^{3n}=x^{n+n+n}=x^n\cdot x^n\cdot x^n=x^{2n}\cdot x^n=(x^n)^3$
$x^{2n}=x^{n+n}=x^n\cdot x^n=(x^n)^2$
Ora procediamo con la scomposizione. Grazie alle uguaglianze introdotte qui sopra possiamo scomporre i termini $x^{3n}$ e $x^{2n}$ e scrivere il polinomio nel seguente modo:
$x^{3n}+10x^{2n}+16x^n=x^{2n}\cdot x^n+10x^n\cdot x^n+16x^n$
facciamo quindi un raccoglimento totale del fattore comune $x^n$:
$x^n(x^{2n}+10x^n+16)$
Ora dobbiamo scomporre ulteriormente il trinomio $x^{2n}+10x^n+16$. Per farlo introduciamo la sostituzione $t=x^n$, per cui il trinomio diventa
$x^{2n}+10x^n+16=t^2+10t+16$
Il trinomio di secondo grado in $t$ lo scomponiamo con la tecnica del trinomio speciale. Troviamo quindi due numeri che moltiplicati facciano $16$ e sommati $10$.
I due numeri in questione sono $8$ e $2$, per cui scomponiamo il trinomio come
$t^2+10t+16=(t+8)(t+2)$
Sostituendo nuovamente $x^n$ a $t$ otteniamo
$x^{2n}+10x^n+16=(x^n+8)(x^n+2)$
Allora combinando le scomposizioni concludiamo che il polinomio di partenza può essere scomposto nel seguente modo:
$x^{3n}+10x^{2n}+16x^n=x^n(x^n+8)(x^n+2)$