Problema
Ad una molla fissata al soffitto viene appesa una massa di $100$ grammi che la fa allungare di $5$ centimetri. Calcola la costante elastica della molla.
Svolgimento
L’esercizio ci richiede di calcolare la costante elastica di una molla conoscendo la massa $m=100\hspace{0.1 cm}g=0,1\hspace{0.1cm}kg$ ad essa appesa e il suo allungamento.
Come al solito partiamo facendo un piccolo disegno per aiutarci. Fissiamo un asse di riferimento verticale $x$ e rappresentiamo la molla prima in situazione di riposo e poi allungata con la massa appesa al suo estremo libero.
La molla avrà lunghezza a riposo $x_0$ e dopo aver appeso la massa raggiungere la lunghezza $x_1$. Non siamo a conoscenza di queste due lunghezze ma sappiamo quanto vale la loro differenza, cioè il modulo dell’allungamento della molla che è $\Delta x=x_1-x_0=5\hspace{0.1cm}cm=0,05\hspace{0.1cm} m$.
Siamo interessati al situazione in cui la molla è allungata. Andiamo a vedere quali forze agiscono sulla molla. Ci sarà la forza peso dovuta alla massa appesa $\vec{F}_p$ che tira la molla verso il basso e ci sarà la forza elastica verso l’alto $\vec{F}_e$ che secondo la legge di Hooke tenta di riportare la molla alla lunghezza di riposo.
Se la molla è in equilibrio (cioè non oscilla e mantiene lo stesso allungamento) queste due forze si bilanciano ossia:
$\vec{F}_p + \vec{F}_e=0$
Andiamo a sostituire nell’equazione la legge di Hooke $\vec{F}_e=-k\Delta \vec{x}$ e la forza peso $\vec{F}_p=m\vec{g}$ quindi:
$m\vec{g}-k\Delta \vec{x}=0 $
In questo caso possiamo passare all’equazione scalare (cioè con i moduli) semplicemente andando ad eliminare il simbolo di vettore (infatti $\vec{g}$ e $\Delta \vec{x}$ sono nello stesso verso dell’asse di riferimento scelto):
$mg-k\Delta x=0$
Riscriviamo l’equazione con dei semplici passaggi algebrici (portiamo a destra dell’uguale il secondo termine e dividiamo per $\Delta x$ entrambi i membri):
$\dfrac{mg}{\Delta x}=k$
Quindi abbiamo che la costante elastica $k$ è data dalla formula:
$k=\dfrac{mg}{\Delta x}=\dfrac{0,1\hspace{0.1cm}kg\cdot 9,81\hspace{0.1cm} \dfrac{m}{s^2}}{0,05\hspace{0.1cm} m}=19,6\hspace{0.1cm} \dfrac{N}{m}$