Problema
Due bambini giocano a biglie sulla spiaggia. Una biglia verde viene fatta partire da ferma con un’accelerazione di $0,4\hspace{0.1cm}m/s^2$. Dopo $5$ secondi viene fatta partire una biglia blu con $2$ metri di vantaggio ad una velocità di $1,5\hspace{0.1cm}m/s$ e un’accelerazione di $0,2\hspace{0.1cm}m/s^2$. Scegli un sistema di riferimento e scrivi la legge oraria e la legge della velocità per ciascuna biglia.
Svolgimento
Individuiamo i dati e le incognite del problema:
DATI
$a_{v}=0,4\hspace{0.1cm}m/s^2$
$t_{0,b}=5\hspace{0.1cm}s$
$s_{0,b}=2\hspace{0.1cm}m$
$v_{0,b}=1,5\hspace{0.1cm}m/s$
$a_{b}=0,2\hspace{0.1cm}m/s^2$
iNCOGNITE
$s_{v}(t)=?$
$v_{v}(t)=?$
$s_b(t)=?$
$v_b(t)=?$
La scelta più comoda è fissare il sistema di riferimento $xy$ (rosso in figura) nel punto di partenza della biglia verde, così avremo che $s_{0,v}=0\hspace{0.1cm}m$.
Ricordiamo che la legge oraria e la legge della velocità nel caso di moto uniformemente accelerato sono:
\[\begin{cases}s(t)=s_0+v_0(t-t_0)+\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^2 \\ v(t)=v_0+a(t-t_0)\end{cases}\]
Rispetto al sistema di riferimento scelto, per quanto riguarda la biglia verde abbiamo che:
- $s_{0,v}=0\hspace{0.1cm}m$ perché parte dall’origine del sistema di riferimento
- $v_{0,v}=0\hspace{0.1cm}m/s$ perché parte da ferma
- $t_{0,v}=0\hspace{0.1cm}s$ perché essendo la prima a partire iniziamo a misurare il tempo alla sua partenza
- $a_v=0,4\hspace{0.1cm}m/s^2$
Allora andando a sostituire tali valori nelle formule precedenti, si ottiene che le leggi del moto per la biglia verde sono le seguenti:
\[\begin{cases}s_v(t)=0+0(t-0)+\dfrac{1}{2}\cdot 0,4\cdot (t-0)^2 \\ v_v(t)=0+0,4(t-0)\end{cases}\]
che semplificate diventano:
\[\begin{cases}s_v(t)=0,2t^2 \\ v_v(t)=0,4t\end{cases}\]
Passiamo ora alla biglia blu, rispetto al sistema di riferimento scelto si ha che:
- $s_{0,b}=2\hspace{0.1cm}m$ perché parte un po’ più avanti rispetto alla biglia verde
- $v_{0,b}=1,5\hspace{0.1cm}m/s$ perché parte con una certa velocità iniziale
- $t_{0,b}=5\hspace{0.1cm}s$ perché parte dopo la biglia verde, la cui partenza coincide con l’inizio della misurazione del tempo.
- $a_b=0,2\hspace{0.1cm}m/s^2$
Allora sostituendo i valori sempre nelle formule generali, otteniamo le seguenti leggi:
\[\begin{cases}s_b(t)=2+1,5(t-5)+\dfrac{1}{2}\cdot 0,2\cdot (t-5)^2 \\ v_b(t)=1,5+0,2(t-5)\end{cases}\]
che semplificando un po’ diventano:
\[\begin{cases}s_b(t)=2+1,5(t-5)+0,1(t-5)^2 \\ v_b(t)=1,5+0,2(t-5)\end{cases}\]
Nel caso della biglia verde abbiamo delle leggi più “complicate”, questo è dovuto al fatto che al momento della partenza possiede una velocità iniziale e non parte dall’origine del sistema di riferimento. Inoltre siccome iniziamo a misurare il tempo dalla partenza della biglia verde, avremo che $t_0$ della biglia blu sarà diverso zero.