Iniziamo lo studio del calcolo combinatorio con i raggruppamenti e cerchiamo di capirne subito la logica con un esempio. Sarà utile aver presente il concetto di insieme e il prodotto cartesiano tra insiemi.
Raggruppamenti – Esempio
In un ristorante si hanno a disposizione $2$ tipi di tovaglie con caratteristiche diverse e $3$ tipi di tovaglioli differenti tra loro. Ci si chiede in quanti abbinamenti diversi è possibile creare, cioè in quanti modi è possibile accoppiare tovaglie e tovaglioli.
Soluzione
Cerchiamo di schematizzare il problema e indichiamo con $T_1$ e $T_2$ i due tipi di tovaglie possibili mentre con $t_1$, $t_2$ e $t_3$ i tre tipi di tovaglioli possibili. Entrambi possono essere utilizzati per definire due insiemi:
$A=\{T_1,T_2\}$ $\hspace{4cm}$ Insieme delle tovaglie
$B=\{t_1,t_2,t_3\}$ $\hspace{3,65cm}$ Insieme dei tovaglioli
Lo scopo è quello di capire quante coppie è possibile formare utilizzando un elemento dell’insieme $A$ e un elemento dell’insieme $B$. Le coppie possibili sono quelle formate dal prodotto cartesiano tra i due insiemi, vediamolo:
$A\times B=\{(T_1;t_1),(T_1;t_2),(T_1;t_3),(T_2;t_1),(T_2;t_2),(T_2;t_3)\}$
L’insieme $A\times B$ è quindi l’insieme che ha per elementi tutte le possibili coppie di elementi, il primo della coppia deve essere un elemento di $A$ mentre il secondo deve essere un elemento di $B$.
Nel caso volessimo scambiare i due insiemi il risultato sarebbe il prodotto cartesiano $B\times A$ e nelle coppie sarebbero formate prima da un elemento di $B$ e poi da uno di $A$. Tuttavia il numero di coppie possibili sarebbe lo stesso.
Se consideriamo $A\times B$ (ma anche $B\times A$) il numero di coppie possibili è $6$, quindi ci sono $6$ possibili abbinamenti tovaglia-tovagliolo.
Diagramma ad albero
Per rendere più comprensibile la creazioni di tutti i possibili raggruppamenti è possibile creare un diagramma ad albero. Per iniziare si creano i “rami” principali con gli elementi del primo insieme, nel nostro caso $T_1$ e $T_2$. Successivamente da ciascun ramo principale partono i rami secondari, numerosi tanti quanti sono gli elementi dell’insieme secondario, nel nostro caso $t_1$, $t_2$,$t_3$.
Combinando gli elementi del ramo principale con ciascuno degli elementi dei rami secondari è possibile determinare il raggruppamento.
Possiamo creare un diagramma ad albero per ogni problema simile facilitando la creazione dei raggruppamenti, il limite di questo stratagemma si nota ovviamente quando gli insiemi sono molto numerosi che renderebbero la sua creazione molto complicata.
Regola per i raggruppamenti
Il numero di gruppi che si possono formare assegnando il primo posto ad un elemento di un insieme $A$ di $n$ elementi, il secondo posto ad un elemento di un insieme $B$ di $m$ elementi, il terzo posto ad un elemento di un insieme $C$ di $k$ elementi, ecc. è dato alla formula $n\cdot m \cdot k \cdot …$
Osserviamo che è possibile creare raggruppamenti con quanti insiemi si desidera, il numero di elementi di ogni gruppo è lo stesso del numero di insiemi. Quindi se partiamo da 2 insiemi otterremo gruppi di 2 elementi, se partiamo da 3 insiemi otterremo gruppi da 3 (terne), ecc.
Per confermare la formula consideriamo gli insiemi $A$ con $2$ elementi e $B$ con $3$ elementi dell’esempio visto in precedenza. Considerando la formula abbiamo che $n=2$ e $m=3$ quindi il numero di gruppi possibili sarà:
$n\cdot m=2\cdot 3=6$
Da notare che l’ordine non è importante, cioè considerare prima gli elementi di $B$ e poi quelli di $A$ non modifica il numero di coppie possibili, infatti la moltiplicazione $m \cdot n=3\cdot 2=6$ porta allo stesso risultato. Ciò conferma quanto visto nell’esempio, se consideriamo $A\times B$ o $B\times A$ il numero di coppie è lo stesso, cambia solo l’ordine delle coppie di elementi.
Esercizi svolti su raggruppamenti? Ecco QUI