In questa lezione ci occuperemo delle permutazioni semplici, vedremo la loro definizione, le loro caratteristiche e in quali casi vengono utilizzate. Vedremo poi alcuni esempi utili per comprendere la teoria ed essere in grado di affrontare altri esercizi proposti.
DEFINIZIONE DI PERMUTAZIONE SEMPLICE
Come vedremo a breve, il concetto di permutazione semplice è saldamente legato a quello di disposizione semplice. Ma procediamo gradualmente.
Vediamo un rapido esempio pratico. Consideriamo l’insieme $A=\{a,b,c,d\}$ e scegliamo di ordinare TUTTI gli elementi in un certo modo, ad esempio così: $dcab$.
Se scambiassimo di posto il secondo e il terzo elemento otterremmo $dacb$, scambiando poi il primo elemento con il quarto otterremmo $bacd$, ecc.
I gruppi che abbiamo appena visto hanno gli stessi elementi e differiscono tra loro solo per l’ordine degli elementi al loro interno. Questi gruppi che differiscono tra loro unicamente per l’ordine degli elementi vengono chiamati permutazioni semplici.
Si nota una certa somiglianza con le disposizioni, anzi… i gruppi appena visti rientrano pienamente nella categoria delle disposizioni semplici. Allora ci possiamo chiedere: perché chiamarle permutazione invece di disposizioni?
Chiamarle permutazioni serve ad enfatizzare un particolare tipo di disposizioni, nel quale conta solo ed unicamente l’ordine perché gli elementi non cambiano essendo presi tutti. In pratica se una disposizione semplice raggruppa tutti gli elementi disponibili (cioè $k=n$) allora viene chiamata permutazione semplice e l’unica cosa che può cambiare tra un gruppo e l’altro è l’ordine degli elementi.
Fatta questa veloce descrizione concentriamoci su una domanda cruciale: dato un certo numero di oggetti, quante sono le permutazioni semplici possibili? In pratica vogliamo sapere quanti scambi diversi è possibile effettuare.
Esiste una relazione che permette di calcolare questo valore, diamo quindi una definizione formale di permutazione semplice e vediamo poi la formula:
Dati $n$ elementi distinti, le permutazioni semplici sono tutti i gruppi formati dagli $n$ elementi che differiscono tra loro per l’ordine degli elementi. Dato $n$, il numero di permutazioni semplici possibili è dato dalla formula: $P_n=n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot … \cdot 2\cdot 1$
Vediamo le caratteristiche principali dalle permutazioni semplici:
- gli $n$ elementi devono essere distinti, cioè diversi tra loro
- tutti gli $n$ elementi vengono ordinati, quindi l’ordine è l’unica cosa importante
- $n\in \mathbb{N}$
- il simbolo $n!$ è il fattoriale del numero $n$
- le permutazioni semplici sono un particolare tipo di disposizioni semplici in cui $k=n$
Per andare a chiarire quanto abbiamo appena visto passiamo a qualche esempio.
esempio
Quanti numeri di $3$ cifre si possono scrivere con gli elementi dell’insieme $A=\{2,5,7\}$ senza ripeterli?
Osserviamo come prima cosa che gli elementi di $A$ sono distinti e che se vogliamo formare un numero di $3$ cifre con gli elementi di $A$ sarà necessario usare tutti gli elementi dell’insieme. Inoltre possiamo correttamente ritenere che nello scrivere un numero l’ordine delle cifre sia importante.
Fatte queste premesse possiamo affermare che i numeri di $3$ cifre che vogliamo trovare sono delle permutazioni semplici degli $n=3$ elementi di $A$.
Utilizziamo quindi la formula per il numero di permutazioni semplici:
$P_n=n!$
e se andiamo a calcolarla per $n=3$ otteniamo:
$P_3=3!=3\cdot 2\cdot 1=6$
Concludiamo che è possibile scrivere $6$ numeri differenti utilizzando gli elementi di $A$ senza ripeterli.
Per pignoleria andiamo a verificarlo con un diagramma ad albero.
Proseguiamo con un ulteriore esempio.
Calcolare quanti sono gli anagrammi, anche senza senso, della parola “pesca”.
L’esercizio chiede di trovare quanti sono gli anagrammi della parola “pesca”, l’insieme di elementi è quindi $A=\{p,e,s,c,a\}$ che contiene $n=5$ elementi distinti.
Gli anagrammi consistono nello scambio di posizione delle lettere di una parola per ottenere una parola diversa ma della stessa lunghezza, che può avere o meno senso compiuto. Ad esempio un possibile anagramma di “pesca” è “cespa”.
L’ordine delle lettere è importante, infatti cambiandolo cambia anche la parola. Essendo che abbiamo elementi distinti, che l’ordine è importante e che tutti gli elementi dell’insieme $A$ devono essere usati possiamo concludere che gli anagrammi sono delle permutazioni semplici di $5$ elementi.
Per calcolare quanti sono possiamo usare la formula per le permutazioni semplici:
$P_n=n!$
che nel nostro caso per $n=5$ diventa:
$P_5=5!=5\cdot 4 \cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$
Ci sono quindi $120$ anagrammi possibili della parola “pesca”.
Esercizi svolti su permutazioni semplici? Ecco QUI