In questa lezione cercheremo di capire cosa sono le disposizioni semplici e in che modo risolvere gli esercizi che ne richiedono l’uso. Partiremo dalla loro definizione per poi fare qualche esempio.
DEFINIZIONE DI DISPOSIZIONE SEMPLICE
Per iniziare cerchiamo di “visualizzare” il problema che sta alla base delle disposizioni semplici.
Immaginiamo di avere una scatola che contiene un certo numero di oggetti tutti diversi tra loro e di volerne estrarre alcuni di questi uno alla volta mettendoli in ordine di estrazione. Il gruppo di oggetti ordinati che otterremo viene chiamata disposizione semplice (o senza ripetizione).
Chiaramente la disposizione degli oggetti estratti può cambiare ogni volta che andiamo a ripetere dall’inizio l’estrazione. Può accadere ad esempio che gli oggetti estratti siano gli stessi ma abbiano un ordine diverso o che un oggetto non venga estratto a favore di un altro.
Sorge spontaneo chiedersi quante siano le possibili disposizioni estraibili. Vediamo subito la definizione più formale di disposizione semplice e la formula che permette di trovare il numero totale di disposizioni semplici possibili.
Dati $n$ elementi distinti, le disposizioni semplici di ordine $k$ (con $k\le n$) sono tutti i gruppi di $k$ elementi presi dagli $n$ che differiscono tra loro o per almeno un elemento o per l’ordine con cui vengono scelti. Dati $n$ e $k$ il numero di disposizioni semplici $D_{n,k}$ è dato dalla formula: $D_{n,k}=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot …\cdot (n-k+1)=\dfrac{n!}{(n-k)!}$
Mettiamo in evidenza le caratteristiche principali delle disposizioni semplici:
- gli $n$ elementi di partenza devono essere distinti, cioè tutti diversi tra loro
- i $k$ elementi che andiamo ad “estrarre” devono essere sicuramente inferiori o uguali in numero rispetto agli $n$ a disposizione, cioè $k\le n$
- $k,n \in \mathbb{N}$
- due disposizioni sono diverse tra loro se hanno almeno un elemento diverso o se hanno un ordine diverso, quindi sono importanti sia gli elementi che l’ordine di estrazione
ESEMPIO
Calcoliamo quanti numeri a due cifre possono essere scritti utilizzando gli elementi dell’insieme $A=\{2,3,4,5\}$ senza ripeterli.
Iniziamo cercando di capire come applicare la formula per le disposizioni semplici che abbiamo appena visto. In questo caso gli elementi di partenza sono quelli dell’insieme $A$ che sono quattro, quindi $n=4$. Da questi vogliamo estrarne due perché vogliamo formare numeri a due cifre, cioè abbiamo che $k=2$.
La formula da applicare è $D_{n,k}=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot …\cdot (n-k+1)$
Quindi avendo una serie di moltiplicazioni a catena cerchiamo di capire qual è il primo fattore e quel è l’ultimo. L’ultimo termine è $(n-k+1)=5-2+1=3$ mentre il primo sarà $n=4$, quindi la formula moltiplica tutti i numeri naturali tra $4$ e $3$, in questo caso avremo solo due fattori. Possiamo quindi applicare la formula nel seguente modo:
$D_{4,2}=4\cdot 3=12 $
Ci sono quindi $12$ disposizioni semplici possibili ossia $12$ numeri differenti che possiamo scrivere utilizzando gli elementi di $A$ (senza ripeterli).
Essendoci poche disposizioni possibili possiamo andare a verificare il risultato graficamente con un diagramma ad albero. I rami principali saranno la prima cifra del numero mentre i rami secondari la seconda cifra. Nei rami principali ci saranno tutti gli elementi dell’insieme $A$ ma siccome non è possibile estrarre lo stesso elemento più volte, nei rami secondari potranno esserci tutti gli elementi tranne quello presente in quel ramo principale.
Quindi abbiamo confermato che la formula funziona! Inoltre possiamo vedere cosa significa che l’ordine è importante nelle disposizioni. Infatti tra le $12$ disposizioni possibili alcune hanno gli stessi elementi ad esempio $23$ e $32$, entrambe hanno come elementi $2$ e $3$ ma il loro ordine è scambiato.
Esercizi svolti su disposizioni semplici? Ecco QUI