In questa lezione tratteremo le combinazioni semplici. La scelta di vederle dopo disposizioni e permutazioni è dovuta al fatto che esiste un legame tra le combinazioni semplici e quanto visto nelle lezioni precedenti. Procediamo come al solito con un piccolo esempio introduttivo e poi ci occuperemo della definizione formale e della formula
DEFINIZIONE DI COMBINAZIONE SEMPLICE
Cerchiamo di capire cos’è una combinazione semplice con un esempio rapido.
Immaginiamo di avere una scatola contenente cinque palline tutte di diverso colore: giallo, verde, blu, rosso, magenta. Vogliamo estrarre tre di queste palline una alla volta. Avendo già studiato le disposizioni sappiamo che i gruppi che possiamo ottenere sono tutte le disposizioni semplici di ordine $3$ di $5$ elementi.
Potremmo ottenere quindi $D_{5,3}=5\cdot 4\cdot 3=60$ gruppi diversi di $3$ palline, questo perché estraendole una alla volta stiamo dando un ordine alle palline estratte.
Immaginiamo ora estrarre tre palline contemporaneamente, in questo caso non possiamo mettere le palline in ordine di estrazione perché sono uscite dalla scatola tutte insieme. Non potendo ordinare le tre palline estratte, l’unica cosa che differenzia un gruppo estratto da un altro è il colore delle palline estratte. Questo particolare gruppo in cui l’ordine non è importante ma conta solo la distinzione tra gli oggetti viene detto combinazione semplice.
Ma quante combinazioni semplici diverse delle palline possiamo estrarre dalla scatola? Procedendo graficamente otteniamo il seguente risultato:
Otteniamo quindi $10$ gruppi che differiscono tra loro solo per gli elementi che li compongono, cioè $10$ combinazioni.
Possiamo notare che raggruppare degli elementi come disposizioni o come combinazioni da un risultato molto diverso. Le disposizioni semplici abbiamo visto che fornirebbero $60$ gruppi diversi mentre le combinazioni semplici solo $10$ gruppi diversi. Perché accade questo?
Il motivo è facilmente intuibile, mettere in ordine gli elementi complica le cose e aumenta quindi il numero di gruppi diversi che si possono creare. Ad esempio se consideriamo una delle combinazioni appena viste e volessimo mettere in ordine i suoi elementi otterremmo molte possibili disposizioni, come in figura:
Come capire a quante disposizioni corrisponde una combinazione? Beh, utilizzando le permutazioni!
Infatti calcolando le permutazioni semplici di $3$ elementi otteniamo $P_3=3!=6$. Abbiamo così chiuso il cerchio che lega tra loro disposizioni, permutazioni e combinazioni.
Come al solito non ci resta che rispondere alla domanda: c’è una formula per capire quante sono le combinazioni possibili?
Diamo una definizione formale di combinazione semplice e vediamo la formula:
Dati $n$ elementi distinti, le combinazioni semplici di classe $k$ (con $k\le n$) sono tutti i gruppi di $k$ elementi presi dagli $n$ che differiscono tra loro per almeno un elemento (e non per il loro ordine). Dati $n$ e $k$ il numero di combinazioni semplici $C_{n,k}$ è dato dalla formula: \[C_{n,k}={n \choose k}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\]
Mettiamo in evidenza le principali caratteristiche delle combinazioni semplici:
- gli $n$ elementi di partenza devono essere tutti diversi tra loro
- i $k$ elementi che vengono presi devono essere sicuramente minori degli $n$, cioè $k\le n$
- $k,n \in \mathbb{N}$
- due combinazioni sono diverse se sono composte da almeno un elemento diverso, l’ordine NON è importante
- ${n \choose k}$è il coefficiente binomiale di $n$ su $k$
- la formula $C_{n,k}=\dfrac{D_{n,k}}{P_k}$ collega tra loro disposizioni, permutazioni e combinazioni
Passiamo ora ad un esempio svolto.
ESEMPIO
Un’urna contiene sette palline numerate (dall’$1$ al $7$), ne vengono estratte $5$ contemporaneamente. Quanti gruppi diversi possono essere estratti?
Cerchiamo di ricondurci a quanto appena visto in questa lezione. Come prima cosa gli elementi di partenza sono le palline numerate, possiamo definire quindi l’insieme $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ che contiene $n=7$ elementi distinti da cui dovremo estrarne $k=5$. L’estrazione prevede che tutte le palline escano insieme dall’urna, non c’è quindi ragione di dare importanza all’ordine, siamo quindi di fronte a delle combinazioni semplici. Una combinazione estratta potrebbe essere $(6,2,3,4,1)$, per essere chiari specifichiamo che due combinazioni sono diverse deve essere diverso almeno un elemento (ad esempio $(2,6,1,3,4)$ non è una combinazione diversa da quella appena vista perché gli elementi sono gli stessi ma ordinati diversamente, mentre $(7,2,3,4,2)$ è una combinazione diversa perché ha almeno un elemento differente).
Per calcolare quante sono le combinazioni semplici che si possono estrarre andiamo ad applicare la formula:
$C_{n,k}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$
che usando $n=7$ e $k=5$ diventa:
$C_{7,5}=\dfrac{7!}{5!\cdot (7-5)!}=\dfrac{7!}{5!\cdot 2!}=\dfrac{5040}{120\cdot 2}=21$
Ci sono quindi $21$ possibili combinazioni estraibili.
L’esercizio sarebbe concluso ma per curiosità risolviamolo utilizzando un metodo differente, che metta in risalto il legame tra disposizioni, permutazioni e combinazioni.
Vogliamo quindi applicare la formula: $C_{n,k}=\dfrac{D_{n,k}}{P_k}$
Calcoliamo le possibili distribuzioni semplici di ordine $5$ degli elementi dell’insieme $A$, abbiamo sempre $n=7$ e $k=5$:
$D_{7,5}=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=2520$
abbiamo quindi $2520$ disposizioni semplici possibili. Calcoliamo ora le permutazioni semplici dei $k=5$ elementi estratti:
$P_5=5!=120$
quindi ci sono $120$ permutazioni possibili.
Ora applichiamo la formula per trovare le combinazioni:
$C_{n,k}=\dfrac{D_{n,k}}{P_k}$
che nel nostro caso con $n=7$ e $k=5$ diventa:
$C_{7,5}=\dfrac{D_{7,5}}{P_5}=\dfrac{2520}{120}=21$
Ci sono quindi $21$ combinazioni semplici possibili. Abbiamo ottenuto lo stesso risultato trovato con l’altra formula più “diretta”!
Esercizi svolti su combinazioni semplici? Ecco QUI