Abbiamo visto le combinazioni semplici, occupiamoci ora delle combinazioni con ripetizione. Come nel caso di disposizioni e permutazioni, anche nelle combinazioni se partiamo da un insieme di elementi che possono ripetersi le cose sono un po’ diverse. Affrontiamo l’argomento partendo, come al solito, con un esempio veloce.
DEFINIZIONE DI COMBINAZIONE CON RIPETIZIONE
Prima di vedere la definizione formale di combinazione con ripetizione e la formula studiamo il seguente esempio:
Immaginiamo di lanciare quattro dadi contemporaneamente e di voler sapere quanti sono i risultati possibili. Essendo stati lanciati contemporaneamente l’ordine non è importante, ci interessano solo gli elementi che escono in un lancio. Quindi due lanci saranno diversi se almeno un elemento è diverso.
Ci troviamo certamente difronte a delle combinazioni. Tuttavia se andiamo riflettere sugli elementi di partenza notiamo che non sono unici, nulla vieta infatti che i dadi forniscano tutti lo stesso elemento. Potremmo ottenere un lancio in cui gli elementi sono tutti diversi $(3,1,4,6)$ così come un lancio in cui un elemento si ripete più volte $(5,2,5,5)$.
Questo tipo di gruppi, in cui non conta l’ordine ma solo gli elementi (che possono ripetersi) che li compongono, vengono detti combinazioni con ripetizione. Ribadiamo, in figura, che due combinazioni con ripetizione sono uguali se hanno gli stessi elementi (anche ripetuti) indipendentemente dal loro ordine.
Come sempre ci chiediamo se c’è un modo di contare quante sono le possibili combinazioni con ripetizione. Vediamo quindi la definizione formale e la formula:
Dati $n$ elementi distinti, le combinazioni di classe $k$ sono tutti i gruppi formati da $k$ elementi (anche ripetuti) presi tra gli $n$ che si differenziano tra loro per almeno un elemento. Dati $n$ e $k$ il numero di combinazioni con ripetizione è dato dalla formula: \[C’_{n,k}={n+k-1 \choose k}=\dfrac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}\]
Vediamo alcune caratteristiche delle combinazioni con ripetizione:
- $n,k \in \mathbb{N}$
- $k$ può anche essere un numero maggiore di $n$, non vale più la condizione $k \le n$
- un elemento può ripetersi al massimo $k$ volte
- due combinazioni per essere diverse devono avere almeno un elemento diverso tra loro (o il numero di volte con cui un elemento compare), il loro ordine NON è importante
- ${n+k-1 \choose k}$ è il coefficiente binomiale di $n+k-1$ su $k$
Per capire come applicare la formula vediamo la soluzione dell’esercizio introdotto a inizio lezione.
ESEMPIO
Quattro dadi vengono lanciati contemporaneamente, quante sono le possibili combinazioni?
Abbiamo visto all’inizio della lezione che ogni lancio fornisce un gruppo di elementi che possono ripetersi e in cui l’ordine non è importante, cioè delle combinazioni con ripetizione. Gli elementi sono presi dell’insieme $A=\{1,2,3,4,5,6\}$, abbiamo quindi $n=6$ elementi di partenza. I dadi però sono quattro quindi i gruppi avranno $k=4$ elementi. Sapendo che abbiamo delle combinazioni con ripetizione e avendo definito $n=6$ e $k=4$ possiamo applicare la formula:
$C’_{n,k}=\dfrac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}$
e andando a sostituire i valori $n=6$ e $k=4$ diventa:
$C’_{6,4}=\dfrac{(6+4-1)!}{4!\cdot (6-1)!}=\dfrac{9!}{4!\cdot 5!}=\dfrac{362880}{24\cdot 120}=126$
Ci sono quindi $126$ risultati possibili lanciando quattro dadi contemporaneamente.
Esercizi svolti su combinazioni con ripetizione? Ecco QUI