Il moto uniformemente accelerato è tra gli argomenti più importanti della cinematica e permette di studiare il moto di oggetti che si muovono con un’accelerazione costante. In questa lezione ci riferiremo in particolare al moto rettilineo uniformemente accelerato, cioè quando la traiettoria lungo la quale si muove l’oggetto è una retta. Qui una breve panoramica degli argomenti che sono trattati in questa pagina:
- Introduzione
- Legge oraria del moto uniformemente accelerato
- Legge della velocità del moto uniformemente accelerato
- Formulario
Per gli esercizi è disponibile un archivio con una serie di esercizi svolti sul moto uniformemente accelerato.
INTRODUZIONE
Si parla di moto uniformemente accelerato quando un corpo è soggetto ad una accelerazione costante nel tempo. Questo è un caso molto comune, basti pensare a quando lasciamo cadere un oggetto, in questo caso il corpo cade verso il basso con un’accelerazione costante pari a $g=9,81\hspace{0.1cm}m/s^2$ (se trascuriamo il rallentamento dovuto all’attrito con l’aria).
Essendo l’accelerazione del corpo costante nel tempo, è possibile calcolarne il modulo considerando due istanti qualsiasi con la formula:
$a=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$
dove $v_1$ e $v_2$ sono il modulo della velocità del corpo negli istanti di tempo $t_1$ e $t_2$.
esempio
- Un oggetto si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. All’istante $t_1=0\hspace{0.1cm}s$ la sua misuriamo la sua velocità ottenendo $v_1=10\hspace{0.1cm}m/s$, mentre all’istante $t_2=10\hspace{0.1cm}s$ si ottiene $v_2=50\hspace{0.1cm}m/s$. Qual è l’accelerazione del corpo?
Siccome si tratta di moto uniformemente accelerato possiamo calcolare l’accelerazione del corpo utilizzando due istanti qualsiasi con la formula:
$a=\dfrac{50\hspace{0.1cm}m/s-10\hspace{0.1cm}m/s}{10\hspace{0.1cm}s-0\hspace{0.1cm}s}=\dfrac{40\hspace{0.1cm}m/s}{10\hspace{0.1cm}s}=4\hspace{0.1cm}m/s^2$
Siccome in questo tipo di moto l’accelerazione è sempre costante nel tempo, in un grafico tempo-accelerazione il moto uniformemente accelerato è rappresentato da una retta orizzontale. Nel caso del nostro esempio otteniamo il seguente grafico:
LEGGE ORARIA DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Una volta scelto un sistema di riferimento, la legge oraria è una “formula” (più tecnicamente è una funzione) che permette di determinare qual è la posizione dell’oggetto al variare del tempo lungo la traiettoria che percorre. Nel caso del moto uniformemente accelerato la legge oraria è:
$s(t)=s_0+v_0(t-t_0)+\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^2$
dove $s_0$ è la posizione all’istante $t=t_0$, $v_0$ è la velocità all’istante $t=t_0$ e $a$ è l’accelerazione che è costante nel tempo.
Nella maggior parte dei casi si prende come riferimento iniziale del tempo l’istante in cui il corpo inizia a muoversi, cioè si pone $t_0=0\hspace{0.1cm}s$. Allora la legge oraria si semplifica un po’ diventando:
$s(t)=s_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$
Scrivere la legge oraria di un corpo è una delle parti cruciali nella risoluzione degli esercizi.
Ricordiamo che è fondamentale scegliere un sistema di riferimento, infatti da esso dipendono il “segno” della velocità iniziale $v_0$ e dell’accelerazione $a$, oltre che quello della posizione iniziale $s_0$.
esempio
- Due auto si muovono lungo un rettilineo entrambe con una velocità di $15\hspace{0.1cm}m/s$ a $35$ metri di distanza tra loro. Ad un certo istante il pilota della macchina in testa frena con una decelerazione di $4\hspace{0.1cm}m/s^2$, mentre l’altro pilota accelera, imprimendo all’auto un’accelerazione di $2\hspace{0.1cm}m/s^2$. Scrivi la legge oraria di ciascuna auto.
Diamo un breve rappresentazione del problema:
Abbiamo scelto il sistema di riferimento $xy$ (in rosso) fissandolo nel punto dove sta la macchina in coda. Allora la macchina in coda avrà $s_0=0\hspace{0.1cm}m$, $v_0=15\hspace{0.1cm}m/s$ e $a=2\hspace{0.1cm}m/s^2$, quindi la sua legge oraria sarà:
$s(t)=s_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2=(15\hspace{0.1cm}m/s)t+\dfrac{1}{2}(2\hspace{0.1cm}m/s^2)t^2=15t+1t^2$
L’auto in testa invece ha $s_0=35\hspace{0.1cm}m$, $v_0=15\hspace{0.1cm}m/s$ e $a=4\hspace{0.1cm}m/s^2$ ma nella formula l’accelerazione avrà segno negativo perché sta frenando (la freccia è in verso opposto all’asse $x$). La legge oraria è:
$s(t)=s_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2=35\hspace{0.1cm}m+15\hspace{0.1cm}m/s-\dfrac{1}{2}(4\hspace{0.1cm}m/s^2)t^2=35+15t-2t^2$
In seguito, anche negli esercizi svolti, eviteremo di mettere le unità di misura per non complicare inutilmente la scrittura della legge oraria.
La legge oraria può essere rappresentata graficamente nel piano tempo-posizione. Prendendo solo tempi positivi, nel caso del nostro esempio otteniamo i seguenti grafici:
La legge oraria del moto uniformemente accelerato rappresenta sempre una parabola.
Nel primo caso la parabola è “verso l’alto” perché l’accelerazione è positiva, mentre nel secondo caso la parabola è “verso il basso” perché l’accelerazione è negativa. Nel leggere i grafici delle leggi orarie bisogna prestare un po’ di attenzione, infatti il secondo grafico ci dice che l’auto dopo aver raggiunto la massima distanza dall’origine del sistema di riferimento torna indietro. Chiaramente sappiamo che mondo reale non è vero perché frena fino a fermarsi ma non torna indietro, quindi la parte in cui la parabola torna giù non avremmo dovuto disegnarla!
LEGGE DELLA VELOCITÀ DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
La legge della velocità di un corpo ci permette di calcolare la sua velocità al variare del tempo. Nel caso di moto uniformemente accelerato, la legge della velocità è data dalla seguente relazione:
$v(t)=v_0+a(t-t_0)$
dove $v_0$ è sempre la velocità iniziale e $a$ l’accelerazione dell’oggetto.
Analogamente a quanto visto per la legge oraria, nella maggior parte dei casi si prende $t_0=0\hspace{0.1cm}s$, ottenendo così:
$v(t)=v_0+at$
Anche per la legge della velocità è fondamentale la scelta del sistema di riferimento, dal quale dipendono i segni di $v_0$ e $a$.
ESEMPIO
- Una barca a vela viaggia alla velocità di $7\hspace{0.1cm}m/s$ sfruttando il vento, ad certo istante per aumentare la velocità vengono accesi i motori che producono un’accelerazione di $1,5\hspace{0.1cm}m/s^2$. Scrivi la legge della velocità e calcola che velocità raggiunge dopo $6\hspace{0.1cm}s$.
La barca dopo l’accensione dei motori si muove di moto uniformemente accelerato, con velocità iniziale $v_0=7\hspace{0.1cm}m/s$ e accelerazione costante $a=1,5\hspace{0.1cm}m/s^2$.
Rappresentiamo graficamente il problema fissando il sistema di riferimento nel seguente modo:
Allora la legge della velocità della barca è (trascurando le unità di misura):
$v(t)=v_0+at=7+1,5t$
Per capire che velocità raggiunge dopo sei secondi semplicemente inseriamo $t=6\hspace{0.1cm}s$ nella legge della velocità e otteniamo:
$v(6)=7+1,5\cdot 6=16\hspace{0.1cm}m/s$
Cioè la barca dopo $6\hspace{0.1cm}s$ raggiunge la velocità di $16\hspace{0.1cm}m/s$.
Anche la legge della velocità può essere rappresentata graficamente nel piano tempo-velocità, ed essendo una relazione lineare sarà sempre una retta la cui inclinazione dipende dal valore di $a$. Qui il grafico dell’esempio appena visto:
FORMULARIO
Ricapitoliamo le formule viste in questa lezione:
Accelerazione:
$a=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$
Legge oraria (generale):
$s(t)=s_0+v_0(t-t_0)+\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^2$
Legge della velocità (generale):
$v(t)=v_0+a(t-t_0)$
Legge oraria (con $t_0=0$):
$s(t)=s_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$
Legge della velocità (con $t_0=0$):
$v(t)=v_0+at$
Alcune volte può essere utile la legge spazio-velocità (che si ottiene combinando le precedenti):
$v^2=v_0^2+2a(s-s_0)$
Esercizi svolti sul moto uniformemente accelerato? Ecco QUI