In questa lezione ci occuperemo di come scrivere correttamente il valore di una misura indiretta e di effettuare la propagazione degli errori dalle misure dirette alla misura indiretta. Ma prima una veloce introduzione.
Effettuare un misura indiretta significa trovare il valore di una grandezza fisica attraverso delle operazioni matematiche tra grandezze misurabili direttamente.
Ad esempio, immaginiamo di voler trovare il volume di un oggetto sferico. Possiamo scegliere di misurare direttamente il suo volume mediante uno strumento. Altrimenti potremmo decidere di misurare indirettamente il volume, andando a misurare il raggio $R$ dell’oggetto sferico e inserendo poi la misura diretta del raggio nella formula del volume della sfera $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
Nel caso di misure indirette bisogna prestare però attenzione, infatti le cifre significative e gli errori presenti nelle misure dirette si propagano alla misura indiretta.
Ora vedremo prima come effettuare correttamente una misura indiretta, andando a scrivere il risultato con il giusto numero di cifre significative. Poi vedremo come associare a tale risultato l’errore corrispondente utilizzando la propagazione degli errori.
CIFRE SIGNIFICATIVE IN UNA MISURA INDIRETTA
Nelle misure indirette dobbiamo effettuare delle operazioni matematiche tra le misure dirette che possediamo. Il risultato che otteniamo da queste operazioni deve essere riportato con il giusto numero di cifre significative. Tale numero dipende da quante cifre significative possiedono le misure dirette che utilizziamo e dalle operazioni che effettuiamo.
Vediamo ora le due regole che ci permettono di trovare le cifre significative del risultato di una misura indiretta:
- quando si effettuano addizioni o sottrazioni tra misure, il risultato ha come ultima cifra significativa (cioè l’ultima cifra di destra) la cifra che si ottiene da un’operazione tra cifre tutte significative
- quando si effettuano moltiplicazioni o divisioni tra misure, il risultato ha lo stesso numero di cifre significative della misura diretta che ne ha meno
Vediamo un paio di esempi per chiarire queste regole.
esempio 1
Immaginiamo di voler calcolare la somma di tre masse: $2,342\hspace{0.1cm}kg$$\hspace{0.3cm}1,697\hspace{0.1cm}kg$$\hspace{0.3cm}0,51\hspace{0.1cm}kg$
Andiamo quindi a sommarle e il risultato sarà il seguente:
$2,342\hspace{0.1cm}kg+1,697\hspace{0.1cm}kg+0,51\hspace{0.1cm}kg=4,549\hspace{0.1cm}kg=4,55\hspace{0.1cm}kg$
Nell’ultimo passaggio abbiamo eliminato la cifra $9$ perché non significativa e arrotondato il numero per eccesso. Questo perché la cifra $9$ è ottenuta sommando $2$ (cifra significativa), $7$ (cifra significativa) e $0$ (cifra non significativa). Quindi essendo somma anche di una cifra non significativa non può essere considerata significativa nel risultato.
ESEMPIO 2
Calcoliamo indirettamente il volume di un libro con la formula $V=a\cdot b\cdot c$ dove $a=15,3\hspace{0.1cm}cm, b=32,5\hspace{0.1cm}cm, c=4,2\hspace{0.1cm}cm$ sono le misure degli spigoli.
Dobbiamo quindi effettuare una moltiplicazione a tre fattori:
$V=11,6\hspace{0.1cm}cm\cdot 17,5\hspace{0.1cm}cm\cdot 4,21\hspace{0.1cm}cm=854,63\hspace{0.1cm}cm^3=855\hspace{0.1cm}cm^3$
Secondo la regola, nel caso di moltiplicazioni il risultato deve avere lo stesso numero di cifre significative del dato con meno cifre significative. Nel nostro caso tutti i dati hanno tre cifre significative quindi anche il risultato avrà tre cifre significative, pertanto nell’ultimo passaggio è necessario arrotondare (per eccesso).
Spesso accade di dover fare operazioni in più step, in questo caso generalmente si tengono tutte le cifre delle operazioni intermedie e poi si arrotonda il risultato finale utilizzando le regole appena viste.
PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI
Finora abbiamo fatto operazioni tra misure senza considerare gli errori. Tuttavia se le misure dirette da cui partiamo sono affette da un errore è naturale pensare che anche il risultato di operazioni tra loro lo sia. Capiremo ora come gli errori sui dati (misure dirette) si propagano al risultato (misura indiretta) e come calcolare il valore da attribuire ad esso.
Anche nel caso della propagazione degli errori molto dipende da quali operazioni si effettuano. Vediamo qui le due regole principali e degli esempi:
sommA E DIFFERENZA
L’errore da associare ad una somma o differenza di due o più misure è dato dalla somma degli errori delle singole misure. In formule:
$\Delta (a+b)=\Delta a+\Delta b$
$\Delta (a-b)=\Delta a +\Delta b$
Vediamo un veloce esempio, immaginiamo di voler calcolare la somma di due masse $m_1+m_2$ e poi anche la loro differenza $m_1-m_2$ sapendo che $m_1=(12,43\pm 0,02)\hspace{0.1cm}kg$ e $m_2=(5,82\pm 0,01)\hspace{0.1cm}kg$
Nel caso della somma il risultato sarà:
$m_1+m_2=(12,43+5,82)\hspace{0.1cm}kg \pm (0,02+0,01)\hspace{0.1cm}kg=18,25\hspace{0.1cm}kg \pm 0,03\hspace{0.1cm}kg$
mentre nel caso della sottrazione:
$m_1-m_2=(12,43-5,82)\hspace{0.1cm}kg \pm (0,02+0,01)\hspace{0.1cm}kg=6,61\hspace{0.1cm}kg \pm 0,03\hspace{0.1cm}kg$
Quello da tenere a mente è che l’errore del risultato è sempre dato dalla somma dei singoli errori sia nel caso di somma o che di sottrazione di più misure!
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
L’errore relativo da associare ad un prodotto o quoziente di due misure (o più misure nel caso della moltiplicazione) è dato dalla somma degli errori relativi delle singole misure. In formule:
$\dfrac{\Delta(ab)}{ab}=\dfrac{\Delta a}{a}+\dfrac{\Delta b}{b}$
$\dfrac{\Delta(a/b)}{a/b}=\dfrac{\Delta a}{a}+\dfrac{\Delta b}{b}$
A differenza del caso precedente dobbiamo utilizzare gli errori relativi, vediamo un breve esempio nel caso della moltiplicazione.
Calcoliamo l’errore assoluto da associare alla moltiplicazione di due lunghezze (cioè un’area) $A=l_1\cdot l_2$ con $l_1=(8,12 \pm 0,06)\hspace{0.1cm}cm$ ed $l_2=(3,2 \pm 0,1)\hspace{0.1cm}cm$.
Come prima cosa calcoliamo i valore corretto di $A$, cioè:
$A=l_1\cdot l_2 =8,12\hspace{0.1cm}cm\cdot 3,2\hspace{0.1cm}cm=25,984\hspace{0.1cm}cm^2=26\hspace{0.1cm}cm^2 $
Ora applichiamo le formule per gli errori relativi nel caso di una moltiplicazione:
$\dfrac{\Delta(l_1l_2)}{l_1l_2}=\dfrac{\Delta A}{A}=\dfrac{\Delta l_1}{l_1}+\dfrac{\Delta l_2}{l_2}$
Noi siamo interessati all’errore assoluto $\Delta A$ da associare al valore di $A$ quindi il calcola da eseguire è il seguente:
$\Delta A=A\left[ \dfrac{\Delta l_1}{l_1}+\dfrac{\Delta l_2}{l_2} \right]=25,984\hspace{0.1cm}cm^2\left[ \dfrac{ 0,06\hspace{0.1cm}cm}{8,12\hspace{0.1cm}cm}+\dfrac{0,1\hspace{0.1cm}cm}{3,2 \hspace{0.1cm}cm} \right]=1,004\hspace{0.1cm}cm^2=1\hspace{0.1cm}cm^2$
Quindi il risultato finale per l’area deve essere scritto nel seguente modo:
$A=26\hspace{0.1cm}cm^2 \pm 1\hspace{0.1cm}cm^2$
Concludiamo la lezione con qualche nota da tenere a mente:
- Gli errori vanno riportati sempre arrotondati ad una cifra significativa, solo in qualche raro caso ha senso riportarli con due cifre (ad esempio se l’arrotondamento causasse una sottostima/sovrastima insensata dell’errore)
- Nei calcoli è bene conservare qualche cifra in più rispetto a quelle significative
- Nelle misure indirette il numero di cifre significative è definito dall’errore associato