Nella lezione sulle grandezze scalari abbiamo visto che, oltre ad esse esistono delle grandezze dette grandezze vettoriali.
Le grandezze vettoriali sono uno dei primi ostacoli che si incontra nei primi anni di studio della fisica. La difficoltà è solitamente dovuta al fatto che le operazioni che coinvolgono grandezze vettoriali non sono le comuni operazioni tra numeri. Se per le grandezze scalari le operazioni sono identiche a quelle tra numeri e si studiano nei primi anni di scuola, per le grandezze vettoriali è ben diverso.
Queste grandezze infatti non possono essere descritte solo da un numero e dall’unità di misura ma necessitano di informazioni aggiuntive.
COS’È UNA GRANDEZZA VETTORIALE
Il tappo di una penna si trova al centro di un tavolo. Un nostro amico ci dice di averlo spostato di $20$ centimetri dalla sua posizione iniziale, saremmo in grado di capire in che punto del tavolo si trova senza guardare? La risposta è ovviamente no, potrebbe averlo spostato in una direzione qualsiasi. Se però dicesse che è stato spostato di $20$ centimetri verso la lavagna allora potremmo capire dov’è anche senza guardare.
Allo stesso modo dire che un’auto si muove a $50\hspace{0.1cm}\dfrac{km}{h}$ non descrive completamente il suo moto perché non sapremmo in che direzione si sta muovendo. Ma nemmeno dire che si muove orizzontalmente renderebbe la descrizione completa, infatti potremmo chiederci se va verso destra o verso sinistra.
Sia lo spostamento che la velocità sono delle grandezze vettoriali, cioè delle grandezze che per essere descritte completamente hanno bisogno di un valore numerico detto modulo ( o intensità), di una direzione e di un verso.
COME RAPPRESENTARE GRANDEZZE VETTORIALI
Per poter rappresentare una grandezza vettoriale si utilizza il concetto di vettore, la sua lunghezza rappresenta il modulo della grandezza, la retta su cui giace è la direzione e il verso è determinato dalla freccia.
Un vettore è quindi un segmento orientato. Vediamo un esempio grafico:
Il vettore in figura è stato ottenuto partendo dal segmento $AB$ semplicemente aggiungendo una freccia ad un estremo per indicare il verso d’azione. Per indicare un vettore in una formula si usa una piccola freccia sopra la lettera che lo rappresenta, ad esempio il vettore in figura si indica come $\overrightarrow{AB}$.
Come vedremo più avanti per indicare il vettore che rappresenta una forza si usa la lettera $\vec{F}$, mentre per il vettore della velocità si usa $\vec{v}$. Per indicare il suo modulo si usa la stessa lettera ma senza il simbolo di vettore, ad esempio $v$ o $F$.
Ora sappiamo che per rappresentare una grandezza vettoriale è indispensabile usare un vettore, vediamo ora alcuni esempi su come rappresentare delle grandezze.
esempio 1
Immaginiamo di vedere una palla che rotola orizzontalmente da sinistra a destra e di voler schematizzare il suo moto in un disegno. Per comunicare graficamente che la palla è in movimento orizzontalmente da sinistra a destra dobbiamo indicare la sua velocità $\vec{v}$ che sappiamo essere una grandezza vettoriale. Per fare ciò è sufficiente disegnare un vettore orizzontale che ha origina punta verso destra. La lunghezza non è utile ai fini della schematizzazione, possiamo quindi sceglierla a piacere. Il risultato è il seguente:
esempio 2
Immaginiamo di voler spostare un oggetto da un punto $A$, prima verso Nord di $1,5$ metri e poi verso Est di $1$ metro fino ad un punto $B$. Cerchiamo di capire come potremmo rappresentare graficamente il problema.
Sappiamo che lo spostamento ha bisogno di un vettore per essere descritto completamente. Possiamo quindi disegnare due vettori distinti il primo verso Nord e il secondo verso Est, il risultato è il seguente:
In questo caso dovendo confrontare due vettori della stessa grandezza è utile usare dei vettori con delle lunghezze sensate, lo spostamento verso Est essendo minore di quello verso Nord deve essere rappresentato da un vettore più corto.
OPERAZIONI TRA GRANDEZZE VETTORIALI
Con le grandezze vettoriali possiamo effettuare somme, sottrazioni e moltiplicazioni, la divisione invece non è possibile perché la divisone tra vettori non esiste. Tornando alle operazioni possibili le cose si complicano perché queste operazioni hanno come termini dei vettori e non dei numeri normali, la direzione e il verso non possono essere dimenticati facendo finta di nulla!
Qui riportiamo solo una breve descrizione delle operazioni possibili, essendo un argomento molto delicato è necessario dedicarci una lezione intera.
somma e sottrazione
La somma e la sottrazione tra grandezze vettoriali è possibile solo se le due grandezze sono omogenee. Possiamo quindi sommare o sottrarre due velocità ma non una velocità e uno spostamento. Le unità delle grandezze che si sommano o si sottraggono devono essere ovviamente le stesse,
Per effettuare queste due operazioni tra grandezze vettoriali dobbiamo conoscere come sommare e sottrarre due vettori, come detto lo vedremo in una lezione dedicata.
Moltiplicazione per uno scalare
Tra le possibili moltiplicazioni che coinvolgono le grandezze vettoriali c’è la moltiplicazione tra una grandezza vettoriale e una grandezza scalare. Questa è probabilmente la più semplice da comprendere ed effettuare. Moltiplicare una grandezza scalare $k$ e una grandezza vettoriale $v$ da come risultato una grandezza vettoriale $a$:
$\vec{a}=k\vec{v}$
quindi moltiplicare un vettore $\vec{v}$ per una quantità scalare (in pratica un numero) non ne modifica la direzione. Il vettore $\vec{a}$ sarà quindi parallelo a $\vec{v}$, il verso dipenderà da segno di $k$ mentre il modulo di $\vec{a}$ sarà dato dal prodotto tra il modulo di $k$ e il modulo di $\vec{v}$.
Per un esempio e una spiegazione completa si rimanda alla lezione dedicata.
MOLTIPLICAZIONE TRA DUE GRANDEZZE VETTORIALI
Se moltiplicare due grandezze scalari significa fare una banale moltiplicazione tra due numeri, per le grandezze vettoriali è tutt’altro che semplice. Distinguiamo due diversi tipi di moltiplicazione tra due grandezze scalari: il prodotto scalare e il prodotto vettoriale.
Queste due operazioni sono fondamentali e molto comuni in fisica, è indispensabile conoscerle e capirle. La loro differenza principale sta nel fatto che, il prodotto scalare tra due grandezze vettoriali fornisce come risultato un numero (quindi una grandezza scalare), mentre il prodotto vettoriale tra due grandezze vettoriali fornisce come risultato un altro vettore (quindi una grandezza vettoriale).
PRODOTTO SCALARE
Presi due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ il loro prodotto scalare, che si indica con un punto più marcato $\bullet$, da come risultato un numero pari a $a\cdot b\cdot cos\theta$. In formula:
$\vec{a}\bullet \vec{b}=a\cdot b\cdot cos\theta$
Per calcolare il prodotto scalare tra due vettori basta moltiplicare i moduli $a$ e $b$ dei due vettori e il coseno dell’angolo tra $\vec{a}$ e $\vec{b}$.
Per un esempio e una spiegazione completa si rimanda alla lezione dedicata.
PRODOTTO VETTORIALE
Presi due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ il loro prodotto vettoriale, che si indica con questo simbolo $\times$, da come risultato un vettore $\vec{c}$. In formula:
$\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$
il vettore risultante $\vec{c}$ avrà direzione perpendicolare sia ad $\vec{a}$ che a $\vec{b}$, il suo verso si determina mediante la regola della mano destra mentre il suo modulo è dato dalla formula:
$c=a\cdot b \cdot sen\theta$
dove $a$ e $b$ sono i moduli dei due vettori di partenza mentre $\theta$ è l’angolo compreso tra i due vettori.
Per un esempio e una spiegazione completa si rimanda alla lezione dedicata.