Gli errori di misura sono il più grande ostacolo che si presenta durante le prime esperienze in laboratorio. L’argomento è tutt’altro che semplice, cercheremo quindi di approcciarlo nel modo più chiaro possibile. Per fare ciò sarà necessario trascurare un po’ il rigore di certe nozioni.
Cercheremo di capire cosa sono e perché è indispensabile riportare gli errori di una misura, ma soprattutto potremo capire cosa c’è dietro ad un esperimento di fisica (e quanto lavoro e studio richiede!).
COSA SONO GLI ERRORI DI MISURA
Ogni misura che effettuiamo è affetta da un errore, non c’è via di scampo. Le cause che portano ad un errore di misura sono moltissime, alcune possono essere individuate ed eliminate altre no.
La cosa fondamentale da capire è che il valore vero $v$ di una grandezza (ad esempio la lunghezza di un oggetto) non può essere determinato con precisione assoluta ma ci sarà sempre un errore, quindi il risultato di una misura può solo approssimare tale valore vero.
Ad esempio non possiamo dire che un oggetto è lungo $15\hspace{0.1cm}cm$ ma dobbiamo associare un errore, detto (impropriamente) errore assoluto. Immaginiamo che l’errore sia di $1\hspace{0.1cm}cm$ allora la misura deve essere scritta nel seguente modo:
$l=15\hspace{0.1cm}cm \pm 1\hspace{0.1cm}cm$
Una qualsiasi misura, per essere utilizzata come dato di un esperimento, va sempre scritta utilizzando questo “formato”:
La misura di una grandezza $G$ è data dal valore misurato $X$ e dal corrispondente errore assoluto $\Delta X$: $\hspace{4cm}G=X\pm \Delta X$
Nell’esempio appena visto la grandezza era la lunghezza $G=l$, il valore misurato era $X=15\hspace{0.1cm}cm$, e l’errore assoluto era $\Delta X=1\hspace{0.1cm}cm$.
ATTENZIONE: Ricorda che $G$ non è il valore vero della grandezza ma la sua misura, cioè un’approssimazione.
Possiamo però dire che il valore vero è compreso nell’intervallo dato dall’errore assoluto, cioè:
$X- \Delta X < v < X+\Delta X$
Tornando all’esempio possiamo dire che il valore vero $v$ della lunghezza dell’oggetto era all’interno dell’intervallo dato da:
$15\hspace{0.1cm}cm\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.1cm}cm<v<15\hspace{0.1cm}cm + 1\hspace{0.1cm}cm$
$14\hspace{0.1cm}cm<v<16\hspace{0.1cm}cm$
Vediamo ora i principali errori di misura e le loro caratteristiche.
ERRORE DI SENSIBILITÀ
Immaginiamo di voler misurare lunghezze $l$ di un bastone di legno utilizzando un righello con tacche da un $1$ centimetro, vedendo la figura notiamo che la sua lunghezza è compresa tra la tacca dei $4\hspace{0.1cm}cm$ e quella dei $5\hspace{0.1cm}cm$.
In questo caso è possiamo stimare il valore misurato come il valore centrale dell’intervallo e l’errore assoluto come metà della sensibilità dello strumento (che nel nostro caso è di $1\hspace{0.1cm}cm$ essendo le tacche distanziate tra loro di $1$ centimetro ).
Nel nostro esempio il valore centrale è $4,5\hspace{0.1cm}cm$ mentre l’errore assoluto è $\pm 0,5\hspace{0.1cm}cm$. Quindi la misura può essere espressa come:
$l=4,5\hspace{0.1cm}cm \pm 0,5\hspace{0.1cm}cm$
L’errore assoluto in questo caso è un errore che dipende dalla sensibilità dello strumento. Ripetendo la misura più volte avremmo trovato sempre lo stesso valore della grandezza e lo stesso errore di sensibilità. Ciò non significa che questo sia il valore vero della grandezza, ma solo che lo strumento non è in grado di misurare le microscopiche variazioni della grandezza. Utilizzando uno strumento più sensibile ripetendo la misura più volte il valore misurato potrebbe cambiare.
NOTA: Prendere come errore metà della sensibilità dello strumento è possibile solo nel caso in cui si è certi che la misura sia tra due tacche dello strumento. Altrimenti come errore di sensibilità, nel caso di strumenti analogici e digitali, viene presa la sensibilità dello strumento per intero.
ERRORI SISTEMATICI
Un’altra categoria di errori di misura è quella degli errori sistematici.
Per errore sistematico si intende un errore si genera a causa di un uso sbagliato dello strumento, di uno scorretto procedimento di misura o di un difetto dello strumento. In generale gli errori sistematici modificano i valori misurati sempre per eccesso o sempre per difetto. Tuttavia è l’unica tipologia di errori sulla quale è possibile intervenire, riducendo o eliminandoli.
Ad esempio una lancetta dei secondi di un orologio è tarata male può compiere un giro in $58$ secondi causando un difetto di $2$ secondi ai valori trovati nelle misure. Questo errore sistematico avviene sempre in difetto ma è correggibile tarando nuovamente lo strumento.
ERRORI CASUALI
Quando uno strumento di misura possiede una sensibilità molto alta o quando un fenomeno è soggetto a variazioni dovute a gran numero di fattori, può capitare che ripetendo una misurazione si trovino valori sempre diversi. In questo caso si dice che la misura è affetta da errori casuali. Questa tipologia di errori non è eliminabile ma a differenza degli errori sistematici modifica le misure a volte in difetto e a volte in eccesso.
Sorge spontaneo chiedersi quale valore tra tutti quelli misurati è quello “giusto”. Se tutte le misure hanno la stesso “peso” il procedimento consiste nel calcolare la media aritmetica di tutti i valori.
Supponiamo di aver effettuato $N$ misure $x_1,x_2,…,x_N$ in generale diverse tra loro di una grandezza, per trovare la loro media aritmetica possiamo applicare la seguente formula:
$\bar{x} =\dfrac{x_1+x_2+x_3+…+x_N}{N}$
per calcolare la media aritmetica bisogna quindi sommare tutti i valori e dividerli per il loro numero.
Se il valore numerico della grandezza si trova facendo la media aritmetica, come si fa per trovare l’errore?
Se le misure effettuate non sono molte, una buona stima dell’errore è dato dalla semidispersione, cioè la semidifferenza tra il valore massimo $x_{max}$ e il valore minimo $x_{min}$ delle misure effettuate. LA formula per trovare la semidispersione $\epsilon$ è la seguente:
$\epsilon=\dfrac{x_{max}-x_{min}}{2}$
Se le misure iniziano ad essere numerose ($N \ge 10$) la semidispersione può essere sostituita dalla deviazione standard (o scarto quadratico medio) $\sigma$:
$\sigma=\sqrt{\dfrac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+…+(x_N-\bar{x})^2}{N}}$
Il vantaggio della deviazione standard è che dipende da tutte le misure effettuate e non solo da quella con il valore massimo e quella col valore minimo.
Vediamo ora un esempio in cui applichiamo quanto appena visto.
esempio
Dopo aver misurato la massa di una foglia $5$ volte otteniamo le seguenti misure:
$x_1=2,13\hspace{0.1cm}g$
$x_2=2,06\hspace{0.1cm}g$
$x_3=2,21\hspace{0.1cm}g$
$x_4=2,17\hspace{0.1cm}g$
$x_5=2,14\hspace{0.1cm}g$
Possiamo stimare che il valore più attendibile è la media aritmetica, applichiamo quindi la formula:
$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=\dfrac{(2,13\hspace{0.1cm}g)+(2,06\hspace{0.1cm}g)+(2,21\hspace{0.1cm}g)+(2,17\hspace{0.1cm}g)+(2,14\hspace{0.1cm}g)}{5}=$
$=\dfrac{10,71\hspace{0.1cm}g}{5}=2,14\hspace{0.1cm}g$
Avendo poche misure possiamo usare la semidispersione come stima dell’errore, il valore massimo misurato è $x_{max}=x_3=2,21\hspace{0.1cm}g$ mentre il valore minimo misurato è $x_{min}=x_2=2,06\hspace{0.1cm}g$. Possiamo calcolare la semidispersione con la seguente formula:
$\epsilon=\dfrac{x_{max}-x_{min}}{2}=\dfrac{(2,21\hspace{0.1cm}g)-(2,06\hspace{0.1cm}g)}{2}=\dfrac{0,15\hspace{0.1cm}g}{2}=0,08\hspace{0.1cm}g$
Il risultato della misura sarà quindi:
$m=2,14\hspace{0.1cm}g \pm 0,08\hspace{0.1cm}g$
Anche se non è consigliabile a causa della poca quantità di dati proviamo a calcolare la deviazione standard:
$\sigma=\sqrt{\dfrac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+(x_4-\bar{x})^2+(x_5-\bar{x})^2}{5}}=$
$\scriptsize{=\sqrt{\dfrac{(2,13\hspace{0.1cm}g-2,14\hspace{0.1cm}g)^2+(2,06\hspace{0.1cm}g-2,14\hspace{0.1cm}g)^2+(2,21\hspace{0.1cm}g-2,14\hspace{0.1cm}g)^2+(2,17\hspace{0.1cm}g-2,14\hspace{0.1cm}g)^2+(2,14\hspace{0.1cm}g-2,14\hspace{0.1cm}g)^2}{5}}=}$
$=\sqrt{\dfrac{(0,01\hspace{0.1cm}g)^2+(0,08\hspace{0.1cm}g)^2+(0,07\hspace{0.1cm}g)^2+(0,03\hspace{0.1cm}g)^2+(0\hspace{0.1cm}g)^2}{5}}=$
$=\sqrt{\dfrac{0,0123\hspace{0.1cm}g}{5}}=0,05\hspace{0.1cm}g$
la misura può quindi essere espressa utilizzando la deviazione standard $\sigma=0,05\hspace{0.1cm}g$ come:
$m=2,14\hspace{0.1cm}g \pm 0,05\hspace{0.1cm}g$
ERRORE RELATIVO
Abbiamo visto che è fondamentale fornire un errore ad una misura, questo serve a fornire l’attendibilità di quella misura. L’errore assoluto non fornisce però la precisione di una misura. Ad esempio possiamo capire che un errore assoluto di $\pm 5\hspace{0.1cm}kg$ è molto rilevante se stiamo misurando la massa di una persona, mentre è decisamente piccolo se stiamo misurando la massa del Sole.
Per sapere quanto una misura è “buona” dobbiamo fare riferimento al cosiddetto errore relativo.
L’errore relativo $\epsilon_r$ si calcola facendo il rapporto tra l’errore assoluto $\Delta X$ e il valore misurato $X$:
$\epsilon_r=\dfrac{\Delta X}{X}$
Possiamo anche calcolare l’errore relativo percentuale $\epsilon_p\hspace{0.2cm}$:
$\epsilon_p=\epsilon_r\cdot 100$
Da notare che sia l’errore relativo che l’errore relativo percentuale sono quantità adimensionali, perché sono il risultato del rapporto tra due grandezze omogenee.
esempio
Riprendiamo l’esempio appena fatto, immaginiamo di aver misurato con un errore assoluto $\Delta X=\pm 5\hspace{0.1cm}kg$ sia la massa di un uomo di $X_1=74\hspace{0.1cm}kg$ che la massa del Sole $X_2=1,98\cdot 10^{30}\hspace{0.1cm}kg$. Vediamo a quali errori relativi corrispondono.
Partiamo dall’errore relativo sulla massa dell’uomo:
$\epsilon_{r_1}=\dfrac{5\hspace{0.1cm}kg}{74\hspace{0.1cm}kg}=0.06$ che corrisponde ad un errore relativo del $6$%
Mentre l’errore relativo sulla massa del Sole è:
$\epsilon_{r_2}=\dfrac{5\hspace{0.1cm}kg}{1,98\cdot 10^{30}\hspace{0.1cm}kg}=2,5\cdot 10^{-30}$ che corrisponde ad un errore relativo percentuale dello $0,000…..00025$%
L’errore relativo sulla misura del Sole è minuscolo (e irrealistico) mentre l’errore relativo sulla massa dell’uomo è decisamente più grande. Confrontando le due possiamo affermare che quella del Sole è sicuramente una misura più “buona” o “precisa”.