Problema
Per creare una band musicale di $4$ persone devono essere scelti un bassista, un chitarrista, un batterista e un cantante. Ai provini si presentano $7$ bassisti, $11$ chitarristi, $9$ batteristi e $5$ cantanti. In quanti modi diversi è possibile formare una band?
Svolgimento
L’esercizio ci chiede di determinare in quanti modi è possibile formare una band prendendo il bassista da un insieme $A$ di $7$, il chitarrista da un insieme di $B$ di $11$, il batterista da un insieme $C$ di $9$ e un cantante da un insieme $D$ di $5$.
Quindi possiamo innanzitutto definire i seguenti insiemi:
$A=\{a | a$ è un bassista$\}=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\}$
$B=\{b | b$ è un chitarrista$\}=\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6,b_7,b_8,b_9,b_{10},b_{11}\}$
$C=\{c | c$ è un batterista$\}=\{c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_6,c_7,c_8,c_9\}$
$D=\{d | d$ è un cantante$\}=\{d_1,d_2,d_3,d_4,d_5\}$
Per formare una band dobbiamo scegliere un elemento da ciascun insieme, formando quindi un gruppo di $4$ elementi $(a,b,c,d)$. Degli esempi di band possono essere $(a_5,b_1,c_3,d_5)$ o $(a_2,b_{10},c_2,d_1)$. Ma quante band è possibile formare in questo modo? Vediamo…
Dato il numero elevato di elementi negli insiemi procedere utilizzando il diagramma ad albero sarebbe poco fattibile. Per risolvere l’esercizio utilizzeremo quindi la formula teorica, che consiste nel moltiplicare tra loro il numero di elementi di ciascun insieme da cui prendiamo gli elementi.
Abbiamo già visto all’inizio di quanti elementi sono formati i vari insiemi di partenza, non ci resta che moltiplicarli tra loro.
Quindi effettuiamo la moltiplicazione $7\cdot 11\cdot 9\cdot 5=3465$
Ci sono quindi $3465$ modi di formare una band.