Problema
Calcola in quanti modi è possibile abbinare $5$ paia di calzini diversi con $3$ paia di scarpe diverse.
Svolgimento
Possiamo formare due insiemi, $A$ che ha per elementi i calzini e $B$ che ha per elementi le scarpe.
$A=\{c_1, c_2, c_3, c_4, c_5\}$
$B=\{s_1, s_2, s_3\}$
nell’insieme $A$ l’elemento $c_1$ indica il paio di calzini numero 1, $c_2$ il paio di calzini numero 2, ecc. Allo stesso modo nell’insieme $B$ l’elemento $s_1$ indica il paio di scarpe numero 1, ecc.
Non essendoci molti elementi negli insiemi, per risolvere l’esercizio possiamo procedere graficamente con un diagramma ad albero. Prendiamo come rami principali gli elementi dell’insieme $A$ e da ciascuno di questi facciamo partire tanti rami secondari quanti sono gli elementi di $B$, infine possiamo creare le coppie come in figura.
Quindi è possibile creare $15$ abbinamenti calzini-scarpe. Ovviamente se avessimo messo nei rami principali le scarpe e nei secondari i calzini il risultato sarebbe stato lo stesso.
Un modo più veloce per risolvere il problema è l’utilizzo della formula per i raggruppamenti vista nella lezione teorica, vediamolo brevemente.
Se vogliamo sapere quanti gruppi diversi è possibile creare prendendo un elemento dall’insieme $A$ e uno dall’insieme $B$ basta moltiplicare il numero di elementi di ciascun insieme. In questo caso l’insieme $A$ è formato da $5$ elementi mentre l’insieme $B$ è formato da $3$ elementi. Quindi il numero di gruppi è dato dalla moltiplicazione $5\cdot 3=15$. Come vediamo questo risultato conferma quanto trovato con il diagramma.