Problema
Hai $8$ pastelli di colore diverso e il tuo astuccio è dotato di $8$ posti per pastelli, quanti sono i modi di sistemare i pastelli nell’astuccio? Se l’astuccio avesse solo $4$ posti per pastelli quanti sarebbero i modi?
Svolgimento
Abbiamo otto pastelli distinguibili tra loro perché di colore diverso. Possiamo quindi definire l’insieme dei pastelli come $A=\{p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6,p_7,p_8\}$, tale insieme contiene $n=8$ elementi distinti tra loro. Se i posti disponibili nell’astuccio sono $8$ allora tutti i pastelli che abbiamo potranno essere sistemati al suo interno. Vogliamo quindi trovare in quanti modi diversi è possibile sistemarli, ogni modo sarà diverso dall’altro solo per l’ordine con cui sono inseriti i pastelli. Ad esempio se questo è un possibile modo di sistemarli $(p_3,p_4,p_8,p_1,p_2,p_7,p_5,p_6)$ allora un altro modo diverso può essere il seguente $(p_2,p_7,p_6,p_1,p_3,p_4,p_5,p_8)$ .
Vogliamo calcolare quanti sono in totale i modi diversi di sistemarli. Per farlo possiamo considerare i gruppi appena visti come delle permutazioni semplici di $n=8$ elementi, infatti tutti gli elementi dell’insieme vengono utilizzati e l’unica cosa che differenzia tra loro i modi di sistemarli è l’ordine degli elementi.
Quindi possiamo calcolare il numero di permutazioni possibili mediante la formula $P_n=n!$.
Nel nostro caso avendo $n=8$ otteniamo che:
$P_8=8!=40320$
Ci sono quindi $40320$ modi diversi di sistemare otto pastelli diversi in otto posti.
L’esercizio chiede poi di trovare quanti modi ci sono di sistemare gli otto pastelli nel caso in cui i posti liberi siano quattro.
In questo caso non tutti i pastelli potrebbero essere sistemati. Solo quattro degli otto pastelli potrebbero essere inseriti nell’astuccio. In questo caso non ci troviamo di fronte a delle permutazioni perché solo alcuni elementi tra tutti quelli disponibili vengono presi. Siamo invece nella situazione in cui da $n=8$ elementi distinti ne vengono presi $k=4$ e in cui l’ordine è importante. I gruppi che otteniamo sono quindi delle disposizioni semplici di ordine $4$ di $8$ elementi! Ad esempio un gruppo potrebbe essere il seguente: $(p_6,p_2,p_4,p_5)$.
Pertanto se vogliamo calcolare in quanti modi possiamo sistemare gli otto pastelli in quattro posti dobbiamo utilizzare la formula:
$C_{n,k}=n\cdot (n-1)\cdot…\cdot (n-k+1)$
avendo nel nostro caso $k=4$ ed $n=8$ otteniamo:
$C_{n,k}=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$
Ci sono quindi $1680$ modi diversi di sistemare otto pastelli diversi in quattro posti.