Problema
Quanti sono i modi possibili di sistemare $7$ libri di sullo scaffale? Se poi tra questi $4$ sono di cucina e $3$ di arte, quanti sono i modi di sistemarli mettendo prima tutti quelli di arte e poi quelli di cucina?
Svolgimento
Abbiamo sette libri da ordinare, siamo in grado di distinguerli tra loro quindi possiamo definire l’insieme $A=\{l_1,l_2,l_3,l_4,l_5,l_6,l_7\}$ formato da sette elementi distinti. Ogni elemento dell’insieme rappresenta un libro.
Per sistemare i sette libri sullo scaffale dobbiamo ordinarli, ci sono ovviamente molti modi di ordinarli. Un modo potrebbe essere il seguente $(l_6,l_1,l_4,l_3,l_5,l_7,l_2)$ oppure $(l_2,l_1,l_6,l_3,l_4,l_7,l_5)$. Vogliamo calcolare in quanti modi diversi possiamo ordinare gli elementi.
Essendo che vogliamo ordinare (quindi l’ordine è importante) tutti gli $n=7$ elementi distinti, siamo di fronte a delle permutazioni semplici. Ogni modo di ordinare i sette libri è una permutazione diversa, per calcolare in quanti modi possiamo ordinare i libri basta calcolare il numero totale di permutazioni con la formula:
$P_n=n!$
che nel caso di $n=7$ elementi distinti diventa:
$P_7=7!=5040$
Abbiamo quindi $5040$ permutazioni possibili, cioè $5040$ modi diversi di ordinare i sette libri sullo scaffale.
Il problema poi cambia un po’ le cose, dicendo che tra i sette libri ce ne sono $4$ di cucina e $3$ di arte e di calcolare poi in quanti modi si possono sistemare prima quelli di arte e poi quelli di cucina.
Iniziamo col definire due insieme, $B$ per i libri di cucina e $C$ per quelli arte. Allora possiamo dire che $B=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ e ha come elementi i $k=4$ libri di cucina mentre $C=\{c_1,c_2,c_3\}$ e ha come elementi gli $h=3$ libri di arte.
Per risolvere l’esercizio immaginiamo di sistemare prima i tre libri di arte e di cercare in quanti modi è possibile ordinarli, ignorando per il momento i libri di cucina. Allora essendo che ci sono $h=3$ libri di arte distinti tra loro e che vogliamo sapere in quanti modi è possibile ordinarli possiamo andare ad applicare la formula delle permutazioni semplici: $P_h=h!$
che nel caso di $h=3$ elementi distinti diventa
$P_3=3!=6$
Abbiamo quindi $6$ diversi modi di ordinare i tre libri di arte.
Passiamo ora ai quattro libri di cucina e calcoliamo in quanti modi diversi possono essere ordinati. Abbiamo quindi $k=4$ elementi da ordinare, sono anche in questo caso delle permutazioni semplici perché l’ordine è importante e gli oggetti devono essere utilizzati tutti. Quindi sempre la formula $P_k=k!$ fornisce, nel caso di $k=4$ elementi, il seguente risultato:
$P_4=4!=24$
quindi i quattro libri possono essere ordinati in $24$ modi diversi.
Dobbiamo ora pensare a come mettere insieme i due risultati, per ottenere dei gruppi in cui i primi tre libri sono di arte e gli altri quattro di cucina, ad esempio $(c_3,c_1,c_2,b_3,b_2,b_4,b_1)$.
Per trovare il risultato finale bisogna immaginare che per ogni modo di ordinare i primi tre libri di arte ci sono $24$ modi per ordinare gli altri quattro di cucina. Quindi se andiamo a moltiplicare i modi di ordinare quelli di arte per i modi di ordinare quelli di cucina otteniamo il risultato finale. Cioè:
$P_{tot}=P_3 \cdot P_4=6\cdot 24=144$
Ci sono quindi $144$ modi di ordinare i sette libri mettendo prima i tre di arte e poi i quattro di cucina.