Problema
Quanti sono gli anagrammi di “AMACA”? Quanti di questi iniziano con “CA”?
Svolgimento
Trovare gli anagrammi della parola “AMACA” significa scambiare l’ordine delle $n=5$ lettere per formare parole diverse. Ad esempio dei possibili anagrammi sono “MAACA” o “CMAAA”. Tutti gli anagrammi differiscono tra loro solo per l’ordine delle lettere in quanto gli elementi usati (le lettere) sono sempre le stesse.
Siccome il numero di elementi è fissato, tutti gli elementi vengono utilizzati ed essendo che solo l’ordine è importante, gli anagrammi non sono altro che delle permutazioni. In particolare notiamo che in tutte le parole l’elemento “A” si ripete $n_1=3$ volte quindi siamo del caso delle permutazioni con ripetizione.
Per contare gli anagrammi utilizziamo quindi la seguente formula:
$P_n^{(n_1,n_2,n_3,…)}=\dfrac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot n_3!\cdot …}$
che se andiamo a sostituire $n=5$ ed $n_1=3$ diventa:
$P_5^{(3)}=\dfrac{5!}{3!}=\dfrac{120}{6}=20$
Abbiamo quindi $20$ anagrammi diversi della parola “AMACA”.
L’esercizio ci chiede poi di dire quante di queste parole iniziano con la sillaba “CA”.
Per calcolare quante sono le parole che iniziano per “CA” dobbiamo pensare che una volta fissata la sillaba “CA” all’inizio della parola rimangono altre tre lettere da sistemare, una “A”, una “M” e un’altra “A”.
Le parole differiranno solo per l’ordine di queste tre lettere finali. Quindi se andiamo a trovare le permutazioni di queste ultime tre lettere otterremo il numero di anagrammi che iniziano con “CA”. Consideriamo quindi $n=3$ ed $n_1=2$ (abbiamo tre lettere di cui la “A” si ripete due volte) e andiamo ad utilizzare la formula di prima che diventa:
$P_3^{(2)}=\dfrac{3!}{2!}=3$
Quindi dei $20$ anagrammi totali solo $3$ iniziano per “CA”.