Problema
Possiedi $9$ palline: $3$ gialle, $5$ verdi e $1$ blu. In quanti modi possono essere messe in fila?
Svolgimento
Dobbiamo mettere in fila $9$ palline, cioè creare dei gruppi ordinati di $9$ in quanto tutte le palline vengono messe in ordine. Alcune di queste palline però sono identiche, infatti abbiamo $n_1=3$ palline gialle e $n_2=5$ palline verdi. Abbiamo quindi $n=9$ elementi da ordinare, di cui due di questi elementi si ripetono $n_1=3$ volte e $n_2=5$ volte. La pallina blu, essendo l’unica di quel colore, non è da considerare come un elementi ripetuto (potremmo considerarla come un elementi che si ripete $n_3=1$ volte, ma non cambierebbe il risultato finale). L’unica cosa che distingue un modo di metterle in fila dall’altro è l’ordine delle palline.
Quindi per quanto detto finora possiamo riconoscere che i gruppi ordinati di palline sono delle permutazioni con ripetizione, allora per calcolare in quanti modi si possono mettere in fila possiamo usare la formula:
$P_n^{(n_1,n_2,n_3,…)}=\dfrac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot n_3!\cdot …}$
che andando a sostituire i valori $n=9$, $n_1=3$, $n_2=5$ diventa:
$P_9^{(3,5)}=\dfrac{9!}{3!\cdot 5!}=\dfrac{362880}{6\cdot 120}=504$
Abbiamo quindi $504$ modi diversi di metterle in fila.