Problema
Calcola quanti sono gli anagrammi, anche senza significato, della parola “CAPPOTTO”
Svolgimento
Gli anagrammi di una parola sono tutte quelle parole che si ottengono cambiando l’ordine delle lettere della parola di partenza.
La parola “CAPPOTTO” è formata dal seguente insieme di lettere $A=\{C,A,P,O,T\}$, nell’insieme non possiamo inserire più volte la stessa lettera ma sappiamo che nella parola queste si ripetono. Gli $n=8$ elementi della parola “CAPPOTTO” quindi non sono tutti distinti tra loro, infatti l’elemento “P” si ripete $n_1=2$ volte, l’elemento “O” si ripete $n_2=2$ volte e l’elemento “T” si ripete $n_3=2$ volte.
Trovare gli anagrammi della parola “CAPPOTTO” significa quindi prendere tutte le sue $n=8$ lettere e scambiarle di posto, l’ordine è importante infatti le parole che si possono formare differiscono unicamente dall’ordine essendo formate sempre dalle stesse lettere. Ad esempio degli anagrammi sono “APPOCOTT” e “POCATPTO”.
Essendo che l’ordine è importante e che gli $n=8$ elementi vengono presi tutti, con alcuni di essi ripetuti, gli anagrammi non sono altro che permutazioni con ripetizione di $n=8$ elementi di cui tre elementi (che sono “P”,”O”,”T”) si ripetono $n_1=2,n_2=2,n_3=2$ volte.
Quindi per calcolare gli anagrammi basta calcolare le permutazioni con ripetizione utilizzando la formula:
$P_n^{(n_1,n_2,n_3,…)}=\dfrac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot n_3!\cdot …}$
che nel nostro caso diventa
$P_8^{(2,2,2)}=\dfrac{8!}{2!\cdot 2!\cdot 2!}=\dfrac{40320}{8}=5040$
Ci sono quindi $5040$ anagrammi diversi della parola “CAPPOTTO”.