Problema
Dato l’insieme $A=\{a,c,l,r,t,u\}$ calcola quante parole di $3$ lettere (anche prive di significato) possono essere generate dalle lettere dell’insieme prese una sola volta. Calcola poi quante di queste parole contengo contengono la sillaba $ca$.
Svolgimento
Il problema ci chiede di dire quante parole di $3$ lettere è possibile formare prendendo le lettere presenti nell’insieme $A$ una sola volta. L’insieme $A$ contiene $6$ lettere tutte diverse tra loro, quindi anche le parole avranno lettere tutte differenti. Possiamo quindi considerare le parole da formare come disposizioni semplici di $n=6$ elementi di ordine $k=3$. Possiamo applicare la formula per disposizioni semplici:
$D_{n,k}=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot …\cdot (n-k+1)$
che nel nostro caso diventa:
$D_{6,3}=6\cdot 5\cdot 4=120$
è possibile formare quindi $120$ parole differenti.
L’esercizi ci chiede poi di calcolare quante di queste $120$ parole contengono la sillaba $ca$.
Per fare ciò dobbiamo pensare a come può essere inserita la sillaba in parole di tre lettere, possiamo convincerci che ci sono due possibilità che sono le seguenti: “$\_ca$” o altrimenti “$ca\_$”.
Quindi solo una lettera su tre può essere scelta perché dobbiamo per forza inserire la sillaba $ca$. In particolare la lettera mancante sarà o la prima o l’ultima.
Con quali lettere possiamo riempire lo spazio mancante? Beh, avendo già usato sia l’elemento $c$ che l’elemento $a$, le lettere dell’insieme $A$ che abbiamo ancora a disposizione sono $4$ ossia $\{l,r,t,u\}$.
Avendo due casi possibili (“$\_ca$” e “$ca\_$”) e quattro lettere da poter usare (${l,r,t,u}$) possiamo concludere che le parole contenti la sillaba $ca$ sono $8$.
Vediamo qui un’immagine con tutte le parole contenenti la consonante $ca$.
