Problema
I partecipanti ad una gara podistica sono $13$, vengono premiati solamente i primi $5$ classificati. Calcola in quanti modi può essere formata la lista dei vincitori del premio.
Svolgimento
Vogliamo trovare quanti sono i possibili modi in cui possono presentarsi i vincitori della gara podistica. Per vincitori si intendono i primi $5$ su $13$ partecipanti. Ogni podista è ovviamente unico e diverso dagli altri, perciò lo stesso podista non può occupare due posizioni diverse (ad esempio arrivare sia primo che secondo) e inoltre ad ogni posizione corrisponde un unico podista (ad esempio non ci possono essere due podisti entrambi in seconda posizione). Possiamo quindi utilizzare la formula delle disposizione semplici per trovare quanti modi ci sono di formare il gruppo dei vincitori, che è la seguente:
$D_{n,k}=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot …\cdot (n-k+1)$
Nel nostro caso le disposizioni avranno ordine $k=5$ mentre $n=13$, quindi la formula diventerà:
$D_{13,5}=13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9=154440$
Ci sono quindi $154440$ modi diversi in cui può essere formato il gruppo dei vincitori.
In alcuni casi, se i fattori da moltiplicare nella formula sono molti, è utile utilizzare la seguente “versione” della formula, cioè:
$D_{n,k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}$
che nel nostro caso diventa:
$D_{13,5}=\dfrac{13!}{(13-5)!}=\dfrac{13!}{8!}=\dfrac{6227020800}{40320}=154440$
Come possiamo vedere il risultato non cambia.