Problema
Calcola quante disposizioni semplici di ordine $2$ e di ordine $4$ è possibile fare con $5$ elementi.
Svolgimento
L’esercizi ci chiede di trovare, dati il numero di elementi e l’ordine, le possibili disposizioni semplici. Per fare ciò è necessario sapere cos’è l’ordine di una disposizione semplice. Per quanto visto nella lezione teorica sappiamo che l’ordine $k$ di una disposizione semplice è il numero di elementi che andiamo a prendere da quelli disponibili.
Dobbiamo quindi trovare, dati $n=5$ elementi iniziali, quante disposizioni è possibile formare nel caso volessimo prendere $2$ elementi da quelli di partenza e poi il caso in cui ne volessimo prendere $4$.
Partiamo considerando le disposizioni di ordine $k=2$ e sapendo che il numero di elementi disponibili è $n=5$ andiamo ad applicare la formula per il calcolo delle disposizioni semplici:
$D_{n,k}=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot …\cdot (n-k+1)$
che inserendo i valori che ci interessano diventerà:
$D_{5,2}=5\cdot 4= 20$
Abbiamo quindi $20$ disposizioni semplici possibili.
Consideriamo ora caso di ordine $k=4$ e sempre $n=5$. Applicando la stessa formula otteniamo:
$D_{5,4}=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=120$
Abbiamo quindi $120$ disposizioni semplici possibili.