Problema
Un ladro di biciclette vuole aprire un lucchetto protetto da un codice di $5$ cifre, qual è il numero massimo di tentativi (ordinati) per indovinare con certezza la combinazione?
Svolgimento
L’esercizio ci chiede di trovare il numero massimo di tentativi ordinati, cioè fatti tentando uno ad uno tutti i codici possibili, necessari per indovinare il codice di un lucchetto di $5$ cifre. Ovviamente il codice giusto potrebbe essere trovato in pochi tentativi se il ladro ha la fortuna dalla sua, ma noi siamo interessati a quanti tentativi dovrà effettuare per avere la certezza di aprire il lucchetto.
I codici sono formati da $5$ cifre ordinate (è importante il loro ordine, scambiando due cifre il codice cambia!) ed è sensato immaginare che un numero possa ripetersi più volte all’interno del codice.
Siccome l’esercizio non lo specifica, gli elementi che possono formare il codice sono quelli dell’insieme $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, che contiene quindi $n=10$ elementi.
Siccome l’ordine è importante e gli elementi possono ripetersi concludiamo che i codici non sono altro che delle disposizioni con ripetizione. In particolare essendo codici di $5$ cifre prese da un insieme di $10$, avremo che saranno disposizioni con ripetizione di ordine $k=5$ di un insieme di $n=10$ elementi.
Il numero massimo di tentativi corrisponde al numero totale di disposizioni con ripetizione, infatti provando tutte le disposizioni una ad una si è certi di trovare prima o poi quella giusta.
Per trovare il numero totale di disposizioni con ripetizione usiamo la formula:
$D’_{n,k}=n^k$
che nel caso del nostro esercizi per $k=5$ ed $n=10$ diventa:
$D’_{10,5}=10^5=100000$
Ci sono quindi $100000$ disposizioni con ripetizione.
Il ladro inserendo meticolosamente tutte le disposizioni possibili, se è fortunato potrebbe trovare subito quella giusta mentre se è sfortunato potrebbe impiegare fino a $100000$ tentativi!
PS: curioso il fatto che nella lingua italiana si parli di “combinazione di un lucchetto” o “combinazione di una cassaforte” quando dal punto di vista matematico non sono combinazione ma disposizioni! 🙂