Problema
Trova quanti numeri pari a $3$ cifre si possono formare utilizzando gli elementi dell’insieme $A=\{2,3,5,9\}$
Svolgimento
Per risolvere l’esercizio chiariamo subito alcune caratteristiche fondamentali. Come prima osservazione possiamo affermare che nel formare un numero utilizzando delle cifre l’ordine è importante, infatti due numeri con le stesse cifre ma ordinate in modo diverso sono due numeri diversi (ad esempio $253$ e $235$). Inoltre non essendo specificato diversamente possiamo assumere di poter prendere la stessa cifra più volte.
Fatte queste premesse osserviamo che l’insieme $A$ è composto da $n=4$ elementi, abbiamo quindi quattro cifre (ripetibili) a disposizione per formare i numeri a $3$ cifre che richiede il problema.
Riflettiamo ora sul punto cruciale dell’esercizio, non dobbiamo contare tutti i numeri di $3$ cifre che si possono scrivere con gli elementi di $A$ ma solamente quelli pari.
Cosa implica che i numeri da contare debbano essere pari?
Il fatto di essere interessati solo ai numeri pari ci impone di considerare tutti e soli i numeri che sono divisibili per $2$ cioè che hanno come ultima cifra una delle seguenti $0,2,4,6,8$.
Ma essendo che tra gli elementi di $A$ l’unico pari è $2$ dobbiamo quindi considerare solo i numeri a tre cifre che finiscono con $2$, cioè numeri che abbiano la forma “$\_\hspace{0.1cm}\_2$”.
I posti da “riempire” sono quindi due perché l’ultima cifra deve essere $2$, altrimenti il numero non sarebbe pari.
Restando valide le osservazioni fatte all’inizio, le due cifre rimanenti possono essere considerate come delle disposizioni con ripetizione di ordine $k=2$ degli elementi di $A$ ($n=4$).
Quindi per contare le disposizioni con ripetizione usiamo la formula:
$D’_{n,k}=n^k$
che nel nostro caso per $k=2$ ed $n=4$ diventa:
$D’_{4,2}=4^2=16$
Ci sono quindi $16$ numeri pari a $3$ cifre che possiamo formare con gli elementi di $A=\{2,3,5,9\}$.