Problema
Vuoi cambiare il codice di sblocco dello smartphone utilizzando $4$ cifre tra quelle presenti sulla tastiera. Calcola quanti sono i possibili codici.
Svolgimento
Per risolvere l’esercizio dobbiamo come prima cosa capire quanti sono gli elementi dell’insieme di partenza che chiameremo $A$ e che saranno gli elementi che verranno utilizzati per creare il codice.
Ci viene detto dal testo che il codice deve essere composto dalle cifre presenti sulla tastiera, quindi possiamo concludere che l’insieme degli elementi è $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ e contiene $n=10$ elementi diversi tra loro.
Con questi elementi dobbiamo formare un codice di $4$ cifre, cioè dobbiamo scegliere quattro elementi di $A$ e siccome il problema non lo specifica assumiamo di poter prendere lo stesso elemento più di una volta. Ovviamente l’ordine è importante, le cifre del codice devono essere inserite secondo un certo ordine altrimenti lo smartphone non si sblocca!
Quindi i codici sono gruppi di $4$ elementi presi da un insieme di $10$ possibili elementi, in cui si possono ripetere degli elementi e in cui l’ordine è importante.
Possiamo quindi considerare i codici come delle disposizioni con ripetizione di ordine $k=4$ di $n=10$ elementi.
Il problema ci chiede di dire quanti sono i possibili codici che possiamo utilizzare, per fare questo andiamo a calcolare quante sono le disposizioni con ripetizione di ordine $4$ di $10$ elementi con la seguente formula:
$D’_{n,k}=n^k$
e andando a sostituire $k=4$ e $n=10$ otteniamo
$D’_{10,4}=10^4=10000$
Ci sono quindi $10000$ codici possibili che possiamo utilizzare per proteggere lo smartphone!