Problema
Calcola quante sono le disposizioni con ripetizione di ordine $2$ degli elementi dell’insieme $A=\{a,b,c\}$ e poi scrivile tutte.
Svolgimento
L’esercizio come prima cosa chiede di calcolare quante disposizioni con ripetizione di ordine $2$ sono possibili con gli elementi dell’insieme $A$.
Essendo di ordine $k=2$ le disposizioni saranno delle coppie di due elementi ed essendo delle disposizioni con ripetizione i due elementi di una coppia potranno essere uguali.
Vediamo inoltre che l’insieme $A=\{a,b,c\}$ è costituito da $3$ elementi distinti pertanto $n=3$. Ora che abbiamo chiarito le caratteristiche del problema e che abbiamo trovato il valore di $k$ e di $n$ possiamo andare ad applicare la formula che permette di calcolare il numero totale di disposizioni con ripetizione, che è la seguente:
$D’_{n,k}=n^k$
che andando a sostituire i valori $k=2$ ed $n=3$ diventa:
$D’_{3,2}=3^2=9$
Ci sono quindi $9$ possibili disposizioni con ripetizione di ordine $2$ utilizzando gli elementi dell’insieme $A=\{a,b,c\}$.
Il problema ci chiede inoltre di andare a scrivere esplicitamente tutte le possibili disposizioni con ripetizione che sappiamo dovranno essere $9$. Andiamo quindi a realizzare un diagramma ad albero con gli elementi di $A$. Sia i rami principali che i secondari dovranno avere tutti gli elementi di $A$, il risultato è il seguente:
