Problema
Per creare un gruppo studentesco vanno scelti $5$ studenti da un gruppo di $9$ volontari. Luca e Marta o vogliono essere scelti entrambi o preferiscono non partecipare entrambi, mentre Sara e Silvia non vogliono stare insieme nel gruppo. Calcola quanti modi diversi ci sono di formare il gruppo in modo che le richieste dei ragazzi siano soddisfatte.
Svolgimento
Per risolvere l’esercizio dobbiamo capire in quanti modi è possibile formare un gruppo di $5$ studenti scelti tra $9$ volontari in modo da soddisfare alcune richieste. La prima cosa da notare è che nel formare un possibile gruppo l’ordine con cui gli elementi (cioè i ragazzi) vengono scelti non è importante. Inoltre è naturale ritenere che tutti gli elementi siano diversi tra loro. Quindi i gruppi che si possono formare non sono altro che delle combinazioni semplici.
Tuttavia l’esercizio chiede di trovare quanti sono i gruppi possibili che rispettano i seguenti criteri:
- Luca e Marta o sono presenti entrambi o nessuno dei due è presente
- Sara e Silvia non sono mai presenti insieme
Non possiamo quindi applicare alla cieca la formula per calcolare tutte le combinazioni semplici possibili perché verrebbero contati anche i gruppi che non rispettano i criteri appena visti.
Per calcolare il risultato in modo corretto andiamo a suddividere il problema in due parti. In particolare immaginiamo di andare a creare due gruppi distinti in modo che il primo criterio venga rispettato.
Parte 1
Immaginiamo inizialmente che Luca e Marta siano entrambi presenti nel gruppo, questo significa che i posti disponibili passano da $5$ a $3$ e che i volontari rimasti che possono essere scelti diventano $7$.
Ora che il gruppo creato soddisfa il primo criterio dobbiamo pensare a come soddisfare il secondo criterio, quindi nei $3$ posti rimasti non devono mai esserci Sara e Silvia insieme.
Per soddisfare questa richiesta scegliamo come terzo membro del gruppo una delle due, immaginiamo Sara. Allora nel gruppo rimarranno $2$ posti e dai $7$ volontari dovremo togliere sia Sara che è stata scelta, che Silvia che deve essere esclusa per rispettare il secondo criterio, quindi i volontari rimanenti saranno $5$. Ovviamente se scegliamo come terzo membro Silvia allora Sara verrà esclusa ma alla fine rimarranno sempre $2$ posti e $5$ volontari rimanenti. Quindi avendo $5$ possibili volontari i $2$ posti rimanenti possono essere riempiti come delle combinazioni semplici. Dobbiamo considerare che ciò avviene sia nel caso in cui Sara viene scelta ma anche nel caso in cui Silvia viene scelta, pertanto dobbiamo moltiplicare il tutto per due. Allora otteniamo:
\[2\cdot { 5\choose 2}\]
Questa parte non è finita perché il secondo criterio viene rispettato anche se né Sara né Silvia vengono scelte. In questo caso avremo sempre $3$ posti nel gruppo ma i volontari possibili saranno $5$ perché le due ragazze devono essere escluse. In questo caso i modi per riempire $3$ posti con $5$ volontari sono:
\[{ 5\choose 3}\]
In totale questa parte di esercizio ci fornisce il seguente numero di gruppi possibili:
\[2\cdot { 5\choose 2}+{ 5\choose 3}=20+10=30\]
PARTE 2
In questa parte consideriamo il caso in cui né Luca né Marta vengono scelti. Quindi i posti disponibili rimangono sempre $5$ ma i volontari diventano $7$ perché i due ragazzi vanno esclusi entrambi.
Ora dobbiamo ripetere lo stesso ragionamento seguito nella prima parte per soddisfare il secondo criterio. Quindi se scegliamo Sara ed escludiamo Silvia rimangono $4$ posti con $5$ volontari e lo stesso avviene se scegliamo Silvia ed escludiamo Sara.
Quindi, sapendo che bisogna moltiplicare per due per considerare sia la scelta di Sara che quella di Silvia, i modi possibili di occupare $4$ posti con $5$ volontari sono:
\[2\cdot{ 5\choose 4}\]
Anche in questa parte di esercizio il secondo criterio può essere rispettato se né Sara né Silvia sono scelte. Rimangono quindi $5$ posti liberi con $5$ volontari, quindi c’è solo un modo di creare il gruppo!
Allora i gruppi che otteniamo da questa parte sono
\[2\cdot{ 5\choose 4}+1=10+1=11\]
Per concludere l’esercizio basta sommare i risultati ottenuti nelle due parti. Otteniamo quindi che il numero totale di gruppi che rispettano i due criteri è:
$30+11=41$