Problema
Calcola quante sono le diagonali di un esagono.
Svolgimento
Per calcolare quante sono le diagonali di un esagono utilizzando il calcolo combinatorio andiamo a disegnare un esagono nominando i $6$ vertici con le lettere $A,B,C,D,E,F$.
Preso un vertice qualsiasi, questo può essere collegato agli altri $5$ con dei segmenti. Ovviamente i due vertici più vicini saranno già collegati dai lati dell’esagono, mentre gli altri tre vertici rimanenti vengono collegati da dei segmenti “nuovi” che sono proprio le diagonali che cerchiamo.
Vediamo in dettagli considerando il vertice $A$ e collegandolo agli altri $5$ vertici. Quello che otteniamo è il seguente disegno:
Sono evidenziati $5$ segmenti che collegano il vertice $A$ agli altri vertici. I segmenti colorati in rosso non sono delle diagonali ma dei lati dell’esagono e quindi non vanno considerati, mentre i segmenti blu sono delle diagonali. Lo stesso ragionamento può essere fatto per tutti gli altri vertici dell’esagono. Lasciamo ora da parte quanto visto, ci sarà utile alla fine.
Dalla geometria sappiamo che per indicare un segmento si utilizzano le lettere dei suoi estremi, ad esempio per indicare il segmento che collega il punto $A$ con il punto $B$ si utilizza la notazione $AB$.
Quindi un segmento è una coppia ($k=2$) di lettere prese dalle ($n=6$) lettere dei vertici. Possiamo quindi calcolare quanti segmenti diversi si possono disegnare utilizzando i vertici dell’esagono. Questi non sono altro che delle combinazioni semplici di $n=6$ elementi di classe $k=2$. Infatti le lettere dei vertici sono degli elementi distinti tra loro e che non si ripetono (non esiste il segmento $AA$), inoltre l’ordine non è importante (il segmento $AB$ e il segmento $BA$ sono lo stesso oggetto).
Quindi calcoliamo quanti segmenti diversi è possibile tracciare in un esagono con la formula per le combinazione semplici:
\[C_{n,k}={n \choose k}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\]
che nel nostro caso per $n=6$ e $k=2$ diventa:
\[C_{6,2}={6 \choose 2}=\dfrac{6!}{2!\cdot (6-2)!}=\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}=15\]
Quindi possiamo tracciare $15$ segmenti diversi utilizzando come estremi i vertici di un esagono. Ma per quanto visto all’inizio dello svolgimento sappiamo che non tutti questi segmenti sono delle diagonali. Infatti tra i segmenti calcolati rientrano anche i $6$ lati dell’esagono che devono quindi essere sottratti.
Quindi possiamo concludere che ci sono $15-6=9$ diagonali in un esagono.