Problema
Il gioco del lotto consiste nell’estrazione di cinque numeri tra $1$ e $90$ e in cui l’ordine di estrazione non conta. Quante terne è possibile fare con i novanta numeri a disposizione?
Svolgimento
Per risolvere l’esercizio dobbiamo considerare l’estrazione di una terna, cioè $3$ numeri ad esempio $(34,76,45)$, presi da un gruppo di $90$ numeri. Lo scopo è calcolare quante terne diverse è possibile estrarre.
I numeri estraibili sono gli elementi dell’insieme $A=\{1,2,3,4,…,88,89,90\}$, che sono quindi tutti elementi distinti da loro, non ci sono quindi elementi che si ripetono. Inoltre nel lotto non è importante l’ordine con cui vengono estratti i numeri. Per quanto detto finora possiamo quindi identificare le terne come delle combinazioni semplici di $n=90$ elementi di classe $k=3, per contare quante sono le possibili terne usiamo la seguente formula:
\[C_{n,k}={n \choose k}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\]
che inserendo i valori $n=90$ e $k=3$ diventa:
\[C_{90,3}={90 \choose 3}=\dfrac{90!}{3!\cdot (90-3)!}=\dfrac{90!}{3!\cdot 87!}=117480\]
Nel lotto ci sono quindi $117480$ terne estraibili.