Problema
Lanciando $6$ dati contemporaneamente quante sono le possibili combinazioni?
Svolgimento
Ogni dado lanciato può dare come risultato un numero compreso tra $1$ e $6$, ovviamente nulla vieta che tutti i dadi forniscano lo stesso risultato. Inoltre l’ordine non è importante infatti i dadi vengono lanciati contemporaneamente.
Ad esempio un lancio può dare come risultato
$(6,6,6,6,6,6)$
in cui ogni dado ha dato come risultato $6$. Ma possiamo avere:
$(5,6,6,3,1,2)$
dove due dadi hanno dato lo stesso risultato ($6$) mentre gli altri hanno dato numeri diversi.
Possiamo quindi immaginare il lancio contemporaneo di sei dadi come delle combinazioni con ripetizione di $n=6$ elementi che sono i numeri dei dadi di $k=6$ elementi che sono i dadi lanciati. Utilizziamo quindi la formula per le combinazioni con ripetizione:
$C’_{n,k}=\dfrac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}$
che nel nostro caso fornisce il seguente risultato:
$C’_{6,6}=\dfrac{(6+6-1)!}{6!\cdot (6-1)!}=\dfrac{11!}{6!\cdot 5!}=462$
Abbiamo quindi $462$ lanci diversi possibili.