Problema
Avendo $3$ colori diversi a disposizione, in quanti modi diversi è possibile dipingere le facce di un cubo?
Svolgimento
Sappiamo che le facce di un cubo sono $6$, dobbiamo capire in quanti modi possono essere dipinte usando $3$ colori. I colori possono devono ovviamente ripetersi perché sono in numero minore rispetto alle facce. Chiaramente non ha importanza l’ordine con cui le facce sono dipinte.
Avendo $6$ facce immaginiamo di avere una lista di sei elementi e ad ogni elemento della lista va assegnato un colore. Ad esempio:
$(colore_2,colore_2,colore_2,colore_2,colore_2,colore_2)$
in questo caso tutte e sei le facce sono dello stesso colore, ma possiamo anche avere:
$(colore_2,colore_1,colore_1,colore_3,colore_2,colore_3)$
in cui ogni i colori sono mescolati.
Abbiamo quindi gruppi di $k=6$ elementi presi da $n=3$ elementi che possono ripetersi (che sono i colori).
Per calcolare in quanti modi possono essere dipinte le facce del cubo possiamo usare le combinazioni con ripetizione con la formula:
\[C’_{n,k}={n+k-1 \choose k}=\dfrac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}\]
che nel nostro caso diventa:
\[C’_{3,6}={3+6-1 \choose 6}=\dfrac{(3+6-1)!}{6!\cdot (3-1)!}=\dfrac{8!}{6!\cdot 2!}=\dfrac{40320}{1440}=28\]
Abbiamo $28$ modi diversi di dipingere le facce del cubo con $3$ colori.