Problema
In un triangolo rettangolo $ABC$ le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente $12\hspace{0.1cm}cm$ e $22\hspace{0.1cm}cm$. Calcola la misura di tutti i lati del triangolo e la sua area.
Svolgimento
Iniziamo lo svolgimento dell’esercizio facendo un disegno del triangolo rettangolo $ABC$ e tracciando l’altezza relativa all’ipotenusa, cioè che parte dal punto $A$ fino al punto $H$ sull’ipotenusa $\overline{BC}$, possiamo individuare la proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa. Avremo una proiezione più piccola $\overline{BH}$ che sarà quella del cateto minore $\overline{AB}$ mentre l’altra proiezione più grande $\overline{CH}$ sarà quella del cateto maggiore $\overline{AC}$.
Utilizzando i dati che ci fornisce il problema abbiamo quindi che $\overline{BH}=12\hspace{0.1cm}cm$ mentre $\overline{CH}= 22\hspace{0.1cm}cm$
Il problema ci chiede di determinare i valori di $\overline{BC}$, $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ e l’area $\mathcal{A}$ del triangolo $ABC$.
Come prima cosa si può notare che l’ipotenusa $\overline{BC}$ si può calcolare sommando le due proiezioni dei cateti, quindi:
$\overline{BC}=\overline{BH}+\overline{CH}=12\hspace{0.1cm}cm+22\hspace{0.1cm}cm=34\hspace{0.1cm}cm$
Pensiamo ora a come trovare la misura dei due cateti. Per farlo possiamo utilizzare il primo teorema di Euclide: in un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito su un cateto è uguale all’area di un rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa.
Più che all’enunciato del teorema siamo interessati alla formula del teorema quindi se scegliamo il cateto minore $\overline{AB}$ il teorema di Euclide viene “tradotto” nella seguente formula:
$\overline{AB}^2=\overline{BC}\cdot \overline{BH}$
Questo ci permette di trovare il cateto $\overline{AB}$ applicando la radice quadrata ad entrambi i membri e ottenendo:
$\overline{AB}=\sqrt{\overline{BC}\cdot \overline{BH}}=\sqrt{34\hspace{0.1cm}cm\cdot 12\hspace{0.1cm}cm}=\sqrt{408}\hspace{0.1cm}cm=2\sqrt{102}\hspace{0.1cm}cm\approx 20,2\hspace{0.1cm}cm$
Allo stesso modo se scegliamo il cateto maggiore $\overline{AC}$ quello che si ottiene è:
$\overline{AC}^2=\overline{BC}\cdot \overline{CH}$
da cui il valore di $\overline{AC}$:
$\overline{AC}=\sqrt{\overline{BC}\cdot \overline{CH}}=\sqrt{34\hspace{0.1cm}cm\cdot 22\hspace{0.1cm}cm}=\sqrt{748}\hspace{0.1cm}cm=2\sqrt{187}\hspace{0.1cm}cm\approx 27,3\hspace{0.1cm}cm $
Non ci resta che trovare l’area $\mathcal{A}$ del triangolo $ABC$, sapendo che il triangolo è rettangolo la formula è:
$\mathcal{A}=\dfrac{\overline{AB}\cdot \overline{AC}}{2}=\dfrac{20,2\hspace{0.1cm}cm\cdot 27,3\hspace{0.1cm}cm }{2}= 275,7\hspace{0.1cm}cm^2$
Avendo trovato tutte le incognite del problema l’esercizio è concluso!