ESERCIZI DI GEOMETRIA RISOLVIBILI CON EQUAZIONI – ESERCIZIO 1

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Problema

In figura sono disegnati due quadrati e un semicerchio. Calcola il raggio del semicerchio utilizzando i dadi riportati in figura.

due quadrati inscritti in una circonferenza

Svolgimento

Possiamo come prima cosa calcolare il lato del quadrato rosso che sarà dato dalla somma $5+2=7$. Abbiamo quindi due quadrati, quello blu più piccolo di lato $l_1=5$ e quello rosso più grande di lato $l_2=7$.

Per trovare il raggio $R$ del semicerchio ragioniamo nel seguente modo: chiamiamo $O$ il centro del semicerchio e lo disegniamo spostato leggermente a destra del vertice in comune ai due quadrati. Il punto $O$ sarà quindi appartenente al perimetro del quadrato rosso, il perché lo sia è dovuto al fatto che il quadrato rosso è il più grande dei due. Ora che abbiamo individuato il centro tracciamo due raggi che collegano $O$ ai due vertici dei quadrati che intersecano la semicirconferenza.

disegno triangoli su quadrati inscritti al semicerchio

Possiamo così formare due triangoli rettangoli $ABO$ e $CDO$. Ragioniamo ora sui lati di questi triangoli rettangoli: l’altezza è data dal lato del rispettivo quadrato (cioè $\overline{AB}=5$ e $\overline{CD}=7$) mentre l’ipotenusa è uguale per entrambi essendo il raggio del semicerchio (cioè $\overline{AO}=\overline{CO}=R$).

Le basi dei due triangoli sono sconosciute, risolviamo questo problema introducendo l’incognita $x$ che rappresenta la distanza tra il vertice in comune ai due quadrati e il centro del semicerchio.

Da questo trucco possiamo ricavare delle relazioni per le due basi:

$\overline{BO}=5+x$

$\overline{DO}=7-x$

Applichiamo ora il teorema di Pitagora prima al triangolo $ABO$ e poi al triangolo $CDO$ mettendo il evidenza le ipotenuse ossia i raggi $R$:

$R=\sqrt{(5+x)^2+5^2}$

$R=\sqrt{(7-x)^2+7^2}$

Essendo il raggio $R$ lo stesso in entrambi i casi uguagliamo le due equazioni:

$\sqrt{(5+x)^2+5^2}=\sqrt{(7-x)^2+7^2}$

Risolviamo l’equazione appena ottenuta:

$(5+x)^2+5^2=(7-x)^2+7^2$

$25+10x+x^2+25=49-14x+x^2+49$

$24x=48$

$x=2$

Per trovare il raggio del semicerchio basta inserire il valore $x=2$ in una delle due relazione del teorema di Pitagora:

$R=\sqrt{(5+2)^2+5^2}=\sqrt{74}$

L’esercizio è così concluso.