Problema
In figura sono disegnati due quadrati e un semicerchio. Calcola il raggio del semicerchio utilizzando i dadi riportati in figura.
Svolgimento
Possiamo come prima cosa calcolare il lato del quadrato rosso che sarà dato dalla somma $5+2=7$. Abbiamo quindi due quadrati, quello blu più piccolo di lato $l_1=5$ e quello rosso più grande di lato $l_2=7$.
Per trovare il raggio $R$ del semicerchio ragioniamo nel seguente modo: chiamiamo $O$ il centro del semicerchio e lo disegniamo spostato leggermente a destra del vertice in comune ai due quadrati. Il punto $O$ sarà quindi appartenente al perimetro del quadrato rosso, il perché lo sia è dovuto al fatto che il quadrato rosso è il più grande dei due. Ora che abbiamo individuato il centro tracciamo due raggi che collegano $O$ ai due vertici dei quadrati che intersecano la semicirconferenza.
Possiamo così formare due triangoli rettangoli $ABO$ e $CDO$. Ragioniamo ora sui lati di questi triangoli rettangoli: l’altezza è data dal lato del rispettivo quadrato (cioè $\overline{AB}=5$ e $\overline{CD}=7$) mentre l’ipotenusa è uguale per entrambi essendo il raggio del semicerchio (cioè $\overline{AO}=\overline{CO}=R$).
Le basi dei due triangoli sono sconosciute, risolviamo questo problema introducendo l’incognita $x$ che rappresenta la distanza tra il vertice in comune ai due quadrati e il centro del semicerchio.
Da questo trucco possiamo ricavare delle relazioni per le due basi:
$\overline{BO}=5+x$
$\overline{DO}=7-x$
Applichiamo ora il teorema di Pitagora prima al triangolo $ABO$ e poi al triangolo $CDO$ mettendo il evidenza le ipotenuse ossia i raggi $R$:
$R=\sqrt{(5+x)^2+5^2}$
$R=\sqrt{(7-x)^2+7^2}$
Essendo il raggio $R$ lo stesso in entrambi i casi uguagliamo le due equazioni:
$\sqrt{(5+x)^2+5^2}=\sqrt{(7-x)^2+7^2}$
Risolviamo l’equazione appena ottenuta:
$(5+x)^2+5^2=(7-x)^2+7^2$
$25+10x+x^2+25=49-14x+x^2+49$
$24x=48$
$x=2$
Per trovare il raggio del semicerchio basta inserire il valore $x=2$ in una delle due relazione del teorema di Pitagora:
$R=\sqrt{(5+2)^2+5^2}=\sqrt{74}$
L’esercizio è così concluso.