Problema
Osserva la figura, una pallina urta il terreno con una quantità di moto di modulo $1,44\hspace{0.1cm}\dfrac{kg\cdot m}{s}$ con un angolo di $30°$, rimbalza in modo simmetrico e con lo stesso modulo della quantità di modo. Calcola la variazione della quantità di moto.
Svolgimento
L’esercizio ci chiede di calcolare la variazione della quantità di moto $\Delta \vec{p}$. Il problema ci fornisce come dato che $p_i=p_f$, attenzione questi sono i moduli dei due vettori e non i due vettori! Infatti $\vec{p}_i \ne \vec{p}_f$. Inoltre sappiamo che l’angolo con cui la pallina urta il pavimento è di $30°$.
Un errore comune è pensare che la variazione della q.d.m. sia nullo perché $p_i=p_f$. Questo ragionamento è errato perché osservando il disegno si nota che i due vettori anche se di modulo uguale non hanno la stessa direzione. Questo implica che la variazione della quantità di moto sia necessariamente diversa da $0$.
Per risolvere il quesito bisogna ragionare sulle componenti dei due vettori. Scelto il sistema di riferimento, proviamo a scomporre sia $\vec{p}_i$ che $\vec{p}_f$ lungo i due assi perpendicolari $x$ e $y$.
Notiamo che le componenti della quantità di moto lungo l’asse orizzontale, $\vec{p}_{x_i}$ e$\hspace{0.1cm}\vec{p}_{x_f}$ sono parallele e come come vedremo a breve hanno anche lo stesso modulo.
La differenza tra le componenti di $\vec{p}_i$ e $\vec{p}_f$ sta quindi nella componente lungo l’asse $y$ che inizialmente punta verso il basso e dopo l’urto punta verso l’alto. Proprio in questa componente sta la variazione della quantità di moto.
Possiamo affermare che $\Delta \vec{p}=\Delta \vec{p}_y$, cioè la variazione della quantità di moto riguarda solo la componente verticale.
$\Delta \vec{p}=\Delta \vec{p}_y=\vec{p}_{y_f}-\vec{p}_{y_i}$
passiamo ora al calcolo del modulo $\Delta p_y$ tendendo conto che $\vec{p}_{y_i}$ ha segno negativo rispetto al sistema di riferimento scelto:
$\Delta p_y=p_{y_f}-(-p_{y_i})$
per concludere dobbiamo calcolare il modulo $p_{y_f}$ e il modulo $p_{y_i}$ sfruttando l’angolo che conosciamo:
$p_{y_f}=p_f\cdot sin(30°)=1,44\hspace{0.1cm}\dfrac{kg\cdot m}{s}\cdot \dfrac{1}{2}=0,72\dfrac{kg\cdot m}{s}$
$p_{y_i}=p_i\cdot sin(30°)=1,44\hspace{0.1cm}\dfrac{kg\cdot m}{s}\cdot \dfrac{1}{2}=0,72\dfrac{kg\cdot m}{s}$
Concludiamo con:
$\Delta p_y=p_{y_f}-(-p_{y_i})=0,72\dfrac{kg\cdot m}{s}-(-0,72\dfrac{kg\cdot m}{s})=1,44\hspace{0.1cm}\dfrac{kg\cdot m}{s}$
L’esercizio può finire qua, però per scrupolo verifichiamo che lungo l’asse $x$ non ci sia variazione della quantità di moto.
Calcoliamo quindi $\Delta \vec{p}_x$, in particolare calcoliamo il suo modulo con la seguente formula:
$\Delta p_x=p_{x_f}-p_{x_i}$
Calcoliamo quindi i i due moduli lungo $x$ che ci servono:
$p_{x_f}=p_f\cdot cos(30°)=1,44\hspace{0.1cm}\dfrac{kg\cdot m}{s}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=1,25\dfrac{kg\cdot m}{s}$
$p_{x_i}=p_i\cdot cos(30°)=1,44\hspace{0.1cm}\dfrac{kg\cdot m}{s}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=1,25\dfrac{kg\cdot m}{s}$
Da cui concludiamo che:
$\Delta p_x=p_{x_f}-p_{x_i}=1,25\dfrac{kg\cdot m}{s}-1,25\dfrac{kg\cdot m}{s}=0\dfrac{kg\cdot m}{s}$
La differenza sta che per le componenti orizzontali i vettori sono nello stesso verso e quindi la loro differenza è nulla mentre nel caso delle componenti verticali i vettori sono opposti in verso e quindi la loro differenza equivale a una somma!
Completiamo con una rappresentazione di $\Delta \vec{p}$:
