Problema
Osserva la figura. Una cisterna aperta contenente olio ($d_o=900\hspace{0.1cm}kg/m^3$) presenta un foro di diametro $d=5\hspace{0.1cm}cm$. Il foro si trova ad una profondità $h=1\hspace{0.1cm}m$ sotto l’orlo della cisterna. Calcola la forza da applicare al tappo per evitare la fuoriuscita dell’olio.
Svolgimento
Per risolvere l’esercizio ragioniamo con le pressioni. Modifichiamo un po’ il disegno fissando tre punti $A$, $B$ e $C$. Il punto $A$ sarà sulla superficie superiore della cisterna, il punto $B$ al livello del foro all’interno della cisterna mentre il punto $C$ sarà al livello del foro ma all’esterno della cisterna.
Nel punto $A$ la pressione sarà quella atmosferica perché è a contatto con l’aria esterna, quindi $p_A=p_{atm}=1,013\cdot 10^5 \hspace{0.1cm}Pa$.
Nel punto $B$ la pressione sarà maggiore perché bisogna tener conto della colonna di olio alta $h=1\hspace{0.1cm}m$ che sta sopra e possiamo calcolarla utilizzando la legge di Stevino:
$p_B=p_A+d_ogh=1,013\cdot 10^5+900\cdot 9,81\cdot 1=110129 \hspace{0.1cm}Pa$
Nel punto $C$ la pressione è sempre quella atmosferica perché siamo nell’aria all’esterno della cisterna, cioè $p_C=p_{atm}=1,013\cdot 10^5 \hspace{0.1cm}Pa$.
Senza fare calcoli possiamo immaginare che l’olio uscirà dal foro, ma dal punto di vista fisico l’olio esce perché la pressione nel punto $B$ è maggiore di quella nel punto $C$.
Calcoliamo quanto vale la differenza di pressione $\Delta p $ tra l’interno e l’esterno della cisterna al livello del foro:
$\Delta p=p_B-p_C=110129-1,013\cdot 10^5=8829\hspace{0.1cm}Pa$
La differenza di pressione tra interno ed esterno della cisterna corrisponde ad una forza che nel nostro caso spinge l’olio verso l’esterno. Per calcolare tale forza utilizziamo la definizione di pressione:
$F=\Delta p\cdot A$
dove $A$ è l’area del foro che possiamo calcolare sapendo il diametro del foro:
$A=\pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^2=\pi\cdot \left(\dfrac{0,05}{2}\right)^2=0,002\hspace{0.1cm}m^2$
Possiamo concludere che la forza esercitata dall’olio in uscita è:
$F=\Delta p\cdot A=8829\cdot 0,002=17.6\hspace{0.1cm}N$
Quindi per chiudere il foro il tappo dovrà essere spinto con un forza opposta di pari intensità.