Problema
Durante un salto di bungee jumping l’elastico raggiunge una lunghezza tre volte maggiore della lunghezza a riposo che è di $10$ metri. La costante elastica è di $80\dfrac{N}{m}$. Calcola la forza esercitata sulla corda nel momento di massima estensione.
Svolgimento
L’esercizio ci chiede di calcolare la forza applicata ad una elastico conoscendo la sua costante elastica $k$ e il suo allungamento $\Delta \vec{x}$, come possiamo ben immaginare è necessario usare la legge di Hooke $\vec{F}_e=-k\Delta \vec{x}$.
Iniziamo scegliendo un asse di riferimento verticale $x$ verso il basso e rappresentando l’elastico come una molla immaginiamo due situazioni distinte. La prima in cui l’elastico è a riposo (cioè il salto di bungee jumping non è ancora avvenuto) e la seconda in cui l’elastico è allungato al massimo (il problema ci dice 3 volte la lunghezza a riposo, per motivi di spazio il disegno non può essere in scala 🙂 ).
La lunghezza a riposo dell’elastico è $x_0=10\hspace{0.1cm}m$ mentre la lunghezza massima dopo l’allungamento è $x_1$. Non conosciamo subito di quanto si è allungato l’elastico cioè $\Delta \vec{x}$, tuttavia possiamo calcolarlo. Infatti il problema ci dice che la lunghezza raggiunta è $3$ volte la lunghezza a riposo, cioè ci fornisce la relazione:
$x_1=3x_0=3\cdot 10\hspace{0.1cm}m=30\hspace{0.1cm}m $
Ora sappiamo che $x_1=30\hspace{0.1cm}m$ quindi possiamo calcolarci di quanto si è allungato l’elastico, in particolare calcoliamo il modulo $\Delta x$:
$\Delta x = x_1-x_0=30\hspace{0.1cm}m-10\hspace{0.1cm}m=20\hspace{0.1cm}m$
Vogliamo trovare la forza esercitata sull’elastico al momento di massima estensione, concentriamoci quindi sulla seconda situazione in cui la molla è allungata. In questa situazione sono presenti sempre due forze, la forza $\vec{F}$ con cui viene tirato l’elastico verso il basso e verso l’alto la forza elastica $\vec{F}_e$ che seguendo la legge di Hooke cerca di riportare l’elastico alla lunghezza di riposo.
Per rispondere al quesito dell’esercizio vogliamo trovare quanto vale $\vec{F}$.
Per calcolare $\vec{F}$ dobbiamo ragionare sulla situazione di massimo allungamento. Una volta che l’elastico raggiunge il punto più basso (che corrisponde al massimo allungamento) per un istante la molla rimane ferma cioè non si allunga né si restringe. In questa situazione tutte le forze che agiscono su di essa si annullano, abbiamo quindi che:
$\vec{F}_e + \vec{F} = 0$
Da questa equazione possiamo calcolare il valore di $\vec{F}$ sostituendo ad $\vec{F}_e$ la legge di Hooke:
$-k\Delta \vec{x}+\vec{F} =0$
da cui
$\vec{F} =k\Delta \vec{x}$
Siamo interessati al modulo di $\vec{F}$, quindi passando ai moduli otteniamo che:
$F=k\Delta x=(80\dfrac{N}{m})\cdot (20\hspace{0.1cm}m)=1600\hspace{0.1cm}N$