CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO – ESERCIZIO 8

Problema

Un proiettile di massa $15\hspace{0.1cm}g$ viene sparato con una velocità di $90\hspace{0.1cm}m/s$ contro un un blocco bersaglio di massa $135\hspace{0.1cm}g$ fermo sul piano. Il proiettile rimane conficcato nel blocco, dopo l’urto entrambi scivolano lungo il piano fermandosi dopo $5,3\hspace{0.1cm}m$. Calcola il coefficiente di attrito dinamico tra il blocchetto e il piano.

Svolgimento

Individuiamo i dati e le incognite del problema:

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Siccome il proiettile rimane incastrato nel blocchetto entrambi avranno la stessa velocità finale $v_f$. Per trovare $v_f$ possiamo applicare la legge di conservazione della quantità di moto lungo l’asse orizzontale:

$\vec{p}_I=\vec{p}_F$

Consideriamo la situazione iniziale, osserviamo che il proiettile è in movimento mentre il blocco è fermo, per cui:

$\vec{p}_I=m_1\vec{v}_{i1}$

Nella situazione finale sia il proiettile che il blocchetto si muoveranno alla stessa velocità, quindi:

$\vec{p}_F=(m_1+m_2)\vec{v}_{f}$

Andando a sostituire queste ultime due formule nella prima, otteniamo che la conservazione della quantità di moto diventa:

$m_1\vec{v}_{i1}=(m_1+m_2)\vec{v}_{f}$

Ora è necessario passare dai vettori ai moduli, tenendo conto del verso dei vettori rispetto al sistema di riferimenti che abbiamo scelto. Si ottiene che:

$m_1v_{i1}=(m_1+m_2)v_{f}$

Invertendo questa formula, possiamo quindi calcolare la velocità finale $v_f$ del proiettile e del blocchetto come:

$v_{f}=\dfrac{m_1v_{i1}}{(m_1+m_2)}$

Inserendo i dati nella formula si ottiene:

$v_{f}=\dfrac{m_1v_{i1}}{(m_1+m_2)}=\dfrac{0,015\hspace{0.1cm}kg\cdot 90\hspace{0.1cm}m/s}{(0,015\hspace{0.1cm}kg+0,135\hspace{0.1cm}kg)}=9\hspace{0.1cm}m/s$

Quindi il blocco con il proiettile conficcato striscerà sul piano con un velocità di $9\hspace{0.1cm}m/s$.

Ora il problema ci dice che tra il blocco e il piano lungo il quale sta scivolando c’è attrito, infatti il blocco si fermerà dopo aver percorso $5,3\hspace{0.1cm}m$. Ci chiede di trovare il coefficiente d’attrito dinamico $\mu_d$ tra il blocco e il piano.

Per trovare il coefficiente $\mu_d$ possiamo utilizzare la formula:

$\mu_d=\dfrac{F_a}{R}=\dfrac{F_a}{(m_1+m_2)g}$

dove $R$ è la reazione vincolare del piano, nel nostro caso $R=(m_1+m_2)g$.

Per poter applicare la formula dobbiamo prima trovare l’intensità della forza di attrito $F_a$.

Siccome l’attrito è l’unica forza che agisce orizzontalmente lungo tutto lo spazio percorso dal blocchetto, possiamo ben immaginare che il moto del blocchetto sarà un moto uniformemente decelerato.

Essendo un moto uniformemente decelerato possiamo utilizzare le leggi del moto:

$\begin{cases} v=v_0-at \\ s=s_0+v_0t-\dfrac{1}{2}at^2 \end{cases}$

Nel nostro caso la velocità iniziale sarà $v_0=9\hspace{0.1cm}m/s$ mentre fissando l’origine nel punto dell’urto $s_0=0\hspace{0.1cm}m$, pertanto le leggi diventano:

$\begin{cases} v=9-at \\ s=9t-\dfrac{1}{2}at^2 \end{cases}$

Dalla legge della velocità possiamo ricavare il tempo impiegato dal blocco per fermarsi in funzione della decelerazione. Infatti quando il blocco si sarà fermato $v=0\hspace{0.1cm}m/s$, sostituendo nella legge si ha che:

$0=9-at$

da cui otteniamo che

$t=\dfrac{9}{a}$

Ora consideriamo sempre l’istate in cui il blocco si sarà fermato e utilizziamo la legge oraria. In questo istante avremo che $s=5,3\hspace{0.1cm}m$:

$5,3=9t-\dfrac{1}{2}at^2$

e se sostituiamo in questa legge $t=\dfrac{9}{a}$ otteniamo:

$5,3=9\dfrac{9}{a}-\dfrac{1}{2}a\left(\dfrac{9}{a}\right)^2$

che è un’equazione facilmente risolvibile, dalla quale otteniamo che la decelerazione del blocchetto è:

$a=\dfrac{81}{2,4}=7,64\hspace{0.1cm}m/s^2$

Ora sfruttiamo il secondo principio della dinamica per trovare la forza di attrito, infatti sappiamo che lungo la direzione orizzontale è presente solo la forza di attrito $F_a$ e conosciamo la decelerazione orizzontale del blocchetto. Quindi per il secondo principio della dinamica:

$\vec{F}_a=(m_1+m_2)\vec{a}$

passiamo ai moduli tenendo conto che sia la forza di attrito che la decelerazione sono dirette in verso opposto al sistema di riferimento scelto:

$-F_a=-(m_1+m_2)a$

Per cui la forza di attrito sarà data dalla formula:

$F_a=(m_1+m_2)a=(0,015\hspace{0.1cm}kg+0,135\hspace{0.1cm}kg)\cdot 7,64\hspace{0.1cm}m/s^2=1,15\hspace{0.1cm}N$

Sapendo quanto vale la forza di attrito possiamo finalmente calcolare il coefficiente di attrito:

$\mu_d=\dfrac{F_a}{(m_1+m_2)g}=\dfrac{1,15\hspace{0.1cm}N}{(0,015\hspace{0.1cm}kg+0,135\hspace{0.1cm}kg)\cdot 9,81\hspace{0.1cm}m/s^2}=0,78$

Concludiamo che il coefficiente di attrito dinamico tra il blocchetto e il piano vale $\mu_d=0,78$.