Problema
Due carrelli di massa $m_1=4,5\hspace{0.1cm}kg$ e $m_2=2,7\hspace{0.1cm}kg$ uniti da un filo si muovono ad una velocità di $9\hspace{0.1cm}m/s$. Tra i due carrelli è presente anche una molla compressa. Ad un certo istante il filo si rompe e la molla si allunga. Il carrello anteriore viene spinto dalla molla e raggiunge una velocità di $10,7\hspace{0.1cm}m/s$ con la stessa direzione e verso iniziali. Calcola velocità, direzione e verso del carrello posteriore.
Svolgimento
Individuiamo i dati e le incognite del problema:
DATI
$m_1=4,5\hspace{0.1cm}kg$
$m_2=2,7\hspace{0.1cm}kg$
$v_i=9\hspace{0.1cm}m/s$
$v_{f2}=10,7\hspace{0.1cm}m/s$
INCOGNITE
$v_{f1}=?$
Per calcolare la velocità $v_{f_1}$ del carrello posteriore possiamo utilizzare la conservazione del quantità di moto lungo l’asse orizzontale, infatti la forza esercitata dalla molla che si allunga è una forza interna al sistema e quindi non fa variare la q.d.m totale.
Quindi per legge di conservazione abbiamo che:
$\vec{p}_I=\vec{p}_F$
Siccome all’inizio i carrelli si muovono insieme alla stessa velocità $v_i$:
$\vec{p}_I=m_1\vec{v}_i+m_2\vec{v}_i=(m_1+m_2)\vec{v}_i$
mentre nella situazione finale a causa della spinta della molla i due carrelli avranno velocità diverse, il carrello posteriore diminuirà la velocità mentre quello anteriore aumenterà la velocità:
$\vec{p}_F=m_1\vec{v}_{f1}+m_2\vec{v}_{f2}$
Quindi combinando queste due relazioni la conservazione della quantità di moto diventa:
$(m_1+m_2)\vec{v}_i=m_1\vec{v}_{f1}+m_2\vec{v}_{f2}$
Ora bisogna passare ai moduli tenendo conto del verso dei vettori rispetto all’asse di riferimento. Nel nostro caso supponiamo che il carrello posteriore continuerà a muoversi verso destra ma con velocità minore. La formula della conservazione della quantità di moto con i moduli è:
$(m_1+m_2)v_i=m_1v_{f1}+m_2v_{f2}$
Da questa possiamo ottenere la velocità $v_{f2}$ del carrellino posteriore come:
$v_{f2}=\dfrac{(m_1+m_2)v_i-m_1v_{f1}}{m_2}$
concludiamo l’esercizio sostituendo i valori numerici, ottenendo:
$v_{f2}=\dfrac{(m_1+m_2)v_i-m_1v_{f1}}{m_2}=\dfrac{(4,5\hspace{0.1cm}kg+2,7\hspace{0.1cm}kg)\cdot 9\hspace{0.1cm}m/s-4,5\hspace{0.1cm}kg \cdot 10,7\hspace{0.1cm}m/s}{2,7\hspace{0.1cm}kg}=6,2\hspace{0.1cm}m/s$
Chiaramente la direzione della velocità sarà sempre quella orizzontale e il verso sarà uguale a quello iniziale.