Problema
A causa di un difetto di costruzione un razzo di $1500\hspace{0.1cm}kg$ esplode poco dopo il lancio, a una velocità di $45\hspace{0.1cm}m/s$ in tre frammenti. Il primo di $700\hspace{0.1cm}kg$ procede orizzontalmente con una velocità di $30\hspace{0.1cm}m/s$, il secondo di $500\hspace{0.1cm}kg$ continua verticalmente a $150\hspace{0.1cm}m/s$. Calcola massa, velocità e direzione del terzo frammento.
Svolgimento
Individuiamo i dati e le incognite del problema:
DATI
$M=1500\hspace{0.1cm}kg$
$v_i=45\hspace{0.1cm}m/s$
$m_1=700\hspace{0.1cm}kg$
$v_{f1x}=30\hspace{0.1cm}m/s$
$m_2=500\hspace{0.1cm}kg$
$v_{f2y}=150\hspace{0.1cm}m/s$
INCOGNITE
$m_3=?$
$v_3=?$
$\alpha=?$
Iniziamo calcolando la massa del terzo frammento $m_3$. Siccome sappiamo che il razzo si rompe in tre parti allora:
$M=m_1+m_2+m_3$
invertendo la formula possiamo quindi calcolare $m_3$ come:
$m_3=M-m_1-m_2=1500\hspace{0.1cm}kg-700\hspace{0.1cm}kg-500\hspace{0.1cm}kg=300\hspace{0.1cm}kg$
Per calcolare la velocità del terzo frammento possiamo sfruttare la conservazione della quantità di moto lungo le due direzioni:
$\begin{cases}\vec{p}_{Ix}=\vec{p}_{Fx} \\ \vec{p}_{Iy}=\vec{p}_{Fy} \end{cases}$
che nel nostro caso diventa:
$\begin{cases} 0=m_1\vec{v}_{f1x}+ m_3\vec{v}_{f3x} \\ M\vec{v}_i=m_2\vec{v}_{f2y}+ m_3\vec{v}_{f3y} \end{cases}$
Passiamo ora ai moduli tenendo conto del verso dei vettori rispetto al sistema di riferimento scelto. Le formule diventano:
$\begin{cases} 0=-m_1v_{f1x}+ m_3v_{f3x} \\ Mv_i=m_2v_{f2y}- m_3v_{f3y} \end{cases}$
dalla prima di queste formule possiamo trovare la componente lungo $x$ della velocità del terzo frammento:
$v_{f3x}=\dfrac{m_1v_{f1x}}{m_3}$
mentre dalla seconda troviamo la componente lungo $y$:
$v_{f3y}=\dfrac{m_2v_{f2y}-Mv_i}{m_3}$
Calcoliamo entrambe sostituendo i valori numerici:
$v_{f3x}=\dfrac{m_1v_{f1x}}{m_3}=\dfrac{700\hspace{0.1cm}kg \cdot 30\hspace{0.1cm}m/s}{300\hspace{0.1cm}kg}=70\hspace{0.1cm}m/s$
$v_{f3y}=\dfrac{m_2v_{f2y}-Mv_i}{m_3}=\dfrac{500\hspace{0.1cm}kg\cdot 150\hspace{0.1cm}m/s -1500\hspace{0.1cm}kg \cdot 45\hspace{0.1cm}m/s}{300\hspace{0.1cm}kg}=25\hspace{0.1cm}m/s$
Ma noi stiamo cercando $v_{f3}$, conoscendo le due componenti possiamo trovarla con la formula:
$v_{f3}=\sqrt{v_{f3x}^2+v_{f3y}^2}=\sqrt{(70\hspace{0.1cm}m/s)^2+(25\hspace{0.1cm}m/s)^2}=74,3\hspace{0.1cm}m/s$
Per calcolare la direzione del terzo frammento usiamo la formula:
$\alpha=\arctan \left(\dfrac{v_{f3y}}{v_{f3x}}\right)=19,7°$